Trigonometri

[moth]

Trenger litt hjelp med en trigonometrisk oppgave. Den lyder som følger:
Summen av to vinkler er 135 og summen av deres tangenser er 5. Finn vinklene.
Jeg tenkte jeg kunne lage to ligninger og satte det opp slik

v + u = 135
tan(v) + tan(u) = 5

u = 135 - v
tan(v) + tan(135-v) = 5

Men hvis jeg løser opp parentesen no, så får jeg tan(v) - tan(v) så det funker jo ikke. Er det ikke mulig å løse denne oppgaven med ligning og isåfall hva må jeg gjøre?

[Janhaa]

[tex]u+v=0,75\pi[/tex]
og
[tex]\tan(u)+\tan(v)=5[/tex]

-----------------------------------

[tex]u=0,75\pi-v[/tex]
og
[tex]\tan(0,75\pi-v)\,+\,\tan(v)=5\,\,\,(*)[/tex]

og bruker her

[tex]\tan(0,75\pi-v)=\frac{-1-\tan(v)}{1-\tan(v)[/tex]

sett denne relasjonen inn i (*), så fås;

[tex]\tan^2(v)\,-\,5\tan(v)\,+\,6=0[/tex]

løses på vanlig måte...osv (tror d stemmer)

[moth]

Ok, for [tex]\frac{135}{180} = \frac{75}{100} = 0.75[/tex]

Men jeg skjønte ikke helt det andre. Hvis man har ligningen [tex]tan(v) = 5[/tex]

kan man då skrive den om til [tex]\frac{-1-tan(v)}{1-tan(v)}=0[/tex] ?

[FredrikM]

Men hvis jeg løser opp parentesen no, så får jeg tan(v) - tan(v)

Det virker som om du tror at du skal gange "tan" med det som er inne i parantesen.

[moth]

Helt riktig observasjon Fredrik, veldig bra.
Kanskje du kunne forklart meg, hva jeg skulle gjort isteden da?

[FredrikM]

Parentesene har jo sin dobbelbruk i matematisk notasjon, så det er kanskje noe forvirrende. Parenteser brukes ofte for å indikere at flere ting skal ganges med det som er utenfor, som i tilfellet her: [tex]a(b+c)=ab+ac[/tex]. Andre ganger brukes parenteser for å vise hva som er en funksjonsverdi.

Ta eksemplet her: [tex]f(x) \not= fx[/tex]. Skjønner du? Eller bedre: [tex]f(x+2) \not= fx+f\cdot2[/tex].

Funksjoner kan for alt vi vet ha helt andre regneregler enn vanlige variabler. Et eksempel på en funksjon er sin(x) - sinusfunksjonen. Tan(x) - tangensfunksjonen, cos(x), ln(x), lg(x), [tex]e^x[/tex], og så videre.

For tan(x) har vi regelen:
[tex]tan(u \pm v) = \frac{tan u \pm tan v}{1 \mp tan (u) \cdot tan(v)}[/tex]

Du skal bruke den formelen når du løser stykket du har satt opp:
[tex]tan(v) + tan(135-v) = 5[/tex]

[moth]

Takk skal du ha. Faktisk så skrev jeg ned den regelen samme dag som jeg fant oppgaven, så jeg burde kanskje klart å koble det.

[tex]u + v = 135[/tex]

[tex]tan(u) + tan(v) = 5[/tex]

[tex]u = 135 - v[/tex]

[tex]\frac{tan(135)-tan(v)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} + tan(v) = 5[/tex]

[tex]\frac{tan(135)-tan(v)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} + \frac{tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))}{1+tan(135)\cdot tan(v)} = 5[/tex]

[tex]\frac{\left(tan(135)-tan(v)\right)+\left(tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))\right)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} = 5[/tex]

Stemmer dette noenlunde så langt?

Kan man si at [tex]\frac{tan(u)+tan(v)}{1-tan(u)\cdot tan(v)}=\frac{sin(u+v)}{cos(u+v)}[/tex]

Sliter litt med dårlig internettforbindelse, tid og data for tiden så jeg tror jeg må vente med å prøve å løse den skikkelig til jeg kommer hjem, sammen med å prøve å forstå JanH's løsning. Men jeg leser hvis noen skulle ha noen innvendinger.

[Thales]

er det noen som gidder å forklare hvorfor denne regelen gjelder?(ikke bevis det men forkalr hvorfor)

[Charlatan]

Den følger av at [tex]\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)[/tex]

[FredrikM]

... og at [tex]cos(u+v)=cos(u) \cdot cos(v) - sin(v) \cdot sin(u)[/tex]

[Charlatan]

Vel, regelen du skriver følger direkte av at sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

[moth]

[tex]u + v = 135[/tex]

[tex]tan(u) + tan(v) = 5[/tex]


[tex]u = 135 - v[/tex]

[tex]\frac{tan(135)-tan(v)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} + tan(v) = 5[/tex]

[tex]\frac{tan(135)-tan(v)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} + \frac{tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))}{1+tan(135)\cdot tan(v)} = 5[/tex]

[tex]\frac{\left(tan(135)-tan(v)\right)+\left(tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))\right)}{1+tan(135)\cdot tan(v)} = 5[/tex]

[tex]\left(tan(135)-tan(v)\right)+\left(tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))\right) = 5(1+tan(135)\cdot tan(v))[/tex]

[tex]tan(135)-tan(v)+tan(v)(1+tan(135)\cdot tan(v))=5\left(1+tan(135)\cdot tan(v)\right)[/tex]

[tex]-1-tan(v)+tan(v)(1-tan(v))=5(1-tan(v))[/tex]

[tex]-1-tan(v)+tan(v)-tan^2(v)=5-5tan(v)[/tex]

[tex]-tan^2(v)+5tan(v)-6=0[/tex]

Dette er akkurat samme ligning som Janhaa fikk med omvendt fortegn
Hvordan løser man den?

[bartleif]

Bruk substitusjon og sett[tex] u=tan(v)\, \vee\, tan(u)[/tex].

[tex]-(u)^2+5u-6=0[/tex]

[tex]u_1=2\, \, \vee\, u_2=3[/tex]
har funnet at [tex]tan(v)=2\, \vee\, 3[/tex] og at [tex]tan(u)=2\, \vee\, 3[/tex]

[tex]tan(v)=2\, \rightarrow \, \, v=arctan(2)=63.435\textdegree\, \vee\, v=(243.435\textdegree+n180\textdegree)[/tex]
[tex]tan(u)=3\, \rightarrow \, \, u=arctan(3)=71.565\textdegree\, \vee\, u=(251.565\textdegree+n180\textdegree)[/tex]

Har da at:
[tex]tan(v)+tan(u)=5[/tex]
Nice løsning, skal se over hvordan du har gått fram, lage en egen oppgave og lære meg den her.

[moth]

Bra tenkt bartleif. Tusen takk skal du ha.
Lag en kul oppgave også poster du den her

[bartleif]

Takker, heftig oppgave da.

Har allerede løst meg en, "speilvendt" av oppgaven din da

[tex]sin(u)+sin(v)=-5[/tex]
[tex]u+v=-135\textdegree\, \rightarrow\, u=-135\textdegree -v[/tex]

[tex]\frac{\cancel{tan(-135\textdegree)}-tan(v)+tan(v)(1+\cancel{tan(-135\textdegree)}tan(v)}{\cancel{tan(-135\textdegree)}}=\frac{-5(1+\cancel{tan(-135\textdegree)}tan(v))}{\cancel{tan(-135\textdegree)}}[/tex]

[tex]1-tan(v)+tan(v)+tan^2(v)=-5-5tan(v)[/tex]

[tex]tan^2(v)+5tan(v)+6=0[/tex] Setter [tex]u=tan(v)[/tex]

[tex]u^2+5u+6=0[/tex]

[tex]u_1=-2\, \vee\, u_2=-3[/tex]

Bruker tan(u)+tan(v)=-5 og får:

[tex]tan(v_{u_1})+tan(u)=-5\, \rightarrow\, tan(u)=-5-(-2)=-3[/tex]
[tex]tan(v_{u_2})+tan(u)=-5\, \rightarrow\, tan(u)=-5-(-3)=-2[/tex]

Vinklene er tilsvarende til de på forrige aufgabe bare med negativt fortegn.

Forresten, på forrige oppgave er det bare når n er lik 0 løsningene stemmer
Det blir det her og:

[tex]v+u=(-63.435\textdegree+0\cdot180\textdegree)+(-71.565\textdegree+0\cdot180\textdegree)=-135\textdegree[/tex]

Hehe, lang løsning, men her var den