matematikk.net

Jeg har en lommeregner som er av typen: Casio fx-9750G PLUS som jeg prøver å bruke for å løse denne oppgaven.

Oppgave 53.3:
Kurven [tex]K[/tex] er gitt ved ;
[tex]r=|sin\;2\theta|\; , \; \theta \in[0,2\pi][/tex].

b) Finn arealet av det flatestykket avgrenset av kurven.

Noen forslag som kan synliggjøres?

Arealet blir integralet av 1/2 * r^2 d(theta) fra 0 til 2PI. Det er formelen for å regne ut arealer via polarkoordinater.

Okey,jeg prøver;

[tex]\frac{1}{2} \int (|sin \:\theta|)^2 d \theta=\frac{1}{2}[(|cos \: \theta|)^2]_0^{2\pi}[/tex]

Som dere ser så har jeg problemer med å løse denne,hjelp meg...

Det skal være 2theta, ikke theta i integralet ditt. Dette integralet kan du løse via delvis integrasjon, eller du kan skrive om til 1- cos^2, og bruke at cos 2x = 2cos^2 x - 1. Men når man tar integralet av cos^2 x eller sin^2 x over et intervall som har bredde 2PI, PI eller PI/2, så finnes det et triks:

I intervallet 0 til 2PI, eller 0 til PI, eller 0 til PI/2, samt flere intervaller hvor vi ikke begynner i 0, så vil cos^2 x og sin^2 x innta nøyaktig samme verdier, men på forskjellige punkter i intervallene. Følgelig vil integralene av begge funksjoner i disse intervallene være LIKE. Men vi har også at cos^2 x + sin^2 x = 1, altså blir integralet f.eks. fra 0 til 2PI av sin^2 x lik halvparten av integralet av funksjonen 1 over samme intervall, altså PI. Du kan bruke denne ideen til å løse ditt bestemte integral uten å antiderivere. Bare husk å substituere slik at du får integralet av sin^2(u) ikke sin^2(2x), hvor u = 2x.

Setter stor pris på at du har forklart det.

Jeg prøver dette slik:

[tex]\frac{1}{2} \int (|sin\;2 \theta|)^2d \theta=\frac{1}{2}[|1-cos^2 \: 2 \theta ]_0^{2\pi}[/tex]

Hvordan kommer jeg egentlig fram til den riktige antideriverte?

Jeg vet ikke hvilket nivå du er på, men har du hatt tilsvarende til 3MX/Matematikk 2R, så skal du kunne antiderivere funksjonen sin^2 (2x). Hvis du ikke har tilsvarende matematikkunnskaper, så er denne oppgaven på for høyt nivå.

Her er svaret på oppgaven. Arealet er gitt ved:

[tex]A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \sin^2 (2\theta) d\theta = \frac{1}{4} \(\int_{0}^{2\pi} \sin^2 (2\theta) d\theta + \int_{0}^{2\pi} \cos^2 (2\theta) d\theta\) = \frac{1}{4} \(\int_{0}^{2\pi} \sin^2 (2\theta) + \cos^2 (2\theta) d\theta\) = \frac{1}{4} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{\pi}{2}[/tex]

Her har jeg ikke antiderivert, men brukt teknikken jeg beskrev i tidligere innlegg for å finne verdien til det bestemte integralet.

Setter pris..Jeg har jobbet med enhetsformlen.Men har du brukt delvis integrasjon? For jeg skjønte ikke mye av teknikken du har brukt.Hvordan blir løsningen med antiderivering?





EDIT: Den deriverte av [tex](sin^2(2x))`=2cos^2(2x)[/tex]