matematikk.net

Kanskje det var den siste slurken med øl, ikke vet jeg, men trenger nå litt hjelp her.
Det er snakk om buelengden av lnx fra 1 til 2.
Jeg kommer da frem til at [tex]S=\int^2_1 \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx[/tex]
Dette skal jo være løsbart, prøver med substisjonen u=tanx
[tex]S=\int^2_1 \frac{\sqrt{ tan^2(u)+1}}{tan(u)}\frac{du}{cos^2(u)}=\int^2_1 \frac{1}{sin(u)cos^2(u)}du[/tex]
Er vel sikkert snakk om å finne en bra måte å skrive ting om på, men jeg ser det ikke

edit:
hvis man tar en delvis så kanskje man får et lettere integral?
[tex]\frac{1}{cos(u)}+\int \frac{1}{sin(u)cos(u)}}du[/tex]
men jeg ser ikke akkurat at det siste integralet skal være noe enklere egentlig, videre delvis int virket plagsomt..

I utgangspunktet virker substitusjonen x = sinh(u) en god idé. Men du har kommet langt allerede. Det siste integralet ditt tilsvarer å integrere 1/sin(x) (siden sin(x)cos(x) = 1/2 sin(2x)).

Det er et integral man kan løse med litt jobb.

Og i det integralet før edit'en din tror jeg du kan sette u = cos(x) og få noe du kan delbrøksoppspalte.

Husk regelen "Tangens til u halve tar'em alle!"

Les og lær:

Vi setter:
[tex]v=\tan{\frac{u}{2}}\to{dv}=\frac{1}{2}(v^{2}+1)du\to{du}=\frac{2dv}{v^{2}+1}[/tex]
Videre:
[tex]\sin(u)=2\sin(\frac{u}{2})\cos(\frac{u}{2}),1=\cos^{2}(\frac{u}{2})+\sin^{2}(\frac{u}{2})[/tex]
Dermed har vi at:
[tex]\frac{1}{\sin(u)}=\frac{1+v^{2}}{2v}[/tex]
Videre:
[tex]\frac{1}{\cos^{2}(u)}=\tan^{2}(u)+1=(\frac{2\tan(\frac{u}{2})}{1-\tan^{2}(\frac{u}{2})})^{2}+1=1+\frac{4v^{2}}{(1-v^{2})^{2}}=(\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}})^{2}[/tex]

Setter vi dette sammen får vi:
[tex]\int\frac{1}{\sin(u)\cos^{2}(u)}du=\int\frac{1+v^{2}}{2v}(\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}})^{2}\frac{2dv}{v^{2}+1}=\int\frac{(1+v^{2})^{2}}{v(1+v)^{2}(1-v)^{2}}dv[/tex]
Dette integralet kan knekkes med delbrøksoppspalting..

Med nærmere ettertanke er nok y=\cos(u) en lettere substitusjon i dette tilfellet i tråd med badeballens forslag.

Da blir integralet ditt noe sånt som:
[tex]\int\frac{dy}{(y^{2}-1)y^{2}}[/tex]

Men, tangens til vinkel halve tar'e lell, og er mer generell..

Faktisk er det en formidabel jobb å integrere 1/cos(x) og de gutta der.
Prøvde meg med x = sinh(u) jeg også Badeball, og havna opp med
det ubestemte integralet;

[tex]I=I_1\,+\,I_2=\int \frac{du}{\sinh(u)}\,+\,\int \sinh(u)\,du[/tex]

men stagnerte litt der...I_2 er jo grei da...
---------------------


prøve så ei ny angrepsmåte, som funka; substituerte 2 ganger.

sett først u = x[sup]2[/sup] + 1
slik at
[tex]S=\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx= {1\over 2} \int \frac{\sqrt{u}}{u-1}\,du[/tex]

sett så V= [symbol:rot]u
og
[tex]S=\int \frac{V^2}{V^2-1}\,dV[/tex]

polynomdivisjon og delbrøksoppsplating gir så:

[tex]S=\int (dV\,+\,\frac{dV}{(V-1)(V+1)})=V\,+\,{1\over 2}(\int \frac{dV}{V-1}\,-\,\int \frac{dV}{V+1})=V\,+\,{1\over 2}\ln|\frac{V-1}{V+1}|\,+\,C[/tex]

tilbakesubstituer 2 ganger, og sett inn grenser;

[tex]S=\sqrt{x^2+1}\,+\,{1\over 2}\ln(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1})|_1^2=\sqrt5\,-\,\sqrt2\,+\,{1\over 2}\ln(\frac{\sqrt5 -1}{\sqrt5 +1})\,-\,{1\over 2}\ln(\frac{\sqrt2 -1}{\sqrt2 +1})[/tex]

stemmer med kalkisen...

EDIT;
arild er ferdig for 10-15 min sida...
han har jo litt trening fra PF...

@Janhaa: Når ble du moderator? Grattis!

Emomilol wrote:@Janhaa: Når ble du moderator? Grattis!

Takk, ja jaggu blei jeg det iløpet av kvelden....og guru'n blei borte. Like greit det.

Ja, virkelig gratulerer med det Janhaa. Kan ikke tenke meg noen som hadde fortjent det mer.

Janhaa, det ekke så ille:

[tex]\int \frac{dx}{sinh(x)} = \int \frac{2e^x}{e^{2x} - 1}dx = 2\int \frac{du}{u^2 - 1}[/tex]

osv

Badeball wrote:Janhaa, det ekke så ille:
[tex]\int \frac{dx}{sinh(x)} = \int \frac{2e^x}{e^{2x} - 1}dx = 2\int \frac{du}{u^2 - 1}[/tex]
osv

Uff...enig...da var'n grei allikevel. sinh(x) var mitt første forslag også.

Her var det skjedd mye mens jeg fikk min skjønnhetsøvn
Takk til alle, mange interessante angrepsmetoder her, og noen nye fengene regler jeg må lære
Den tangens halve tar'em alle er nok fin, ikke hørt den før

Får vel gratulere Integrasjonsmod'en her jeg også