matematikk.net

[tex] \int sin^2x dx= -sinx cosx+\,\,\int cos^2x dx[/tex]

bruk at [tex] cos^2x=1-sin^2x[/tex]

til å finne integralet

[tex] 1-sin^2x[/tex]

blir det samme integralet som allerede er integrert med unntak av at det er minus foran når man ser bort i fra 1.
u=-sinx u'=-cosx v'=sinx v=-cosx
[tex] \int -sin^2x dx= sinx -cosx+\,\,\int -cosx\cdot-cosx dx[/tex]

Men hva videre cosxcosx kommer jeg heller ingen vei videre med

prøver jeg å integrere med substitusjon

får jeg bare u' i nevneren som ikke kan forkortes

Finn en bedre måte å skrive om integralet ditt på, dette er også løst flere ganger på forumet her mener jeg

Tips:

[tex]\sin^2(x)=1-\cos^2(x)[/tex]

og [tex]\cos(2x)=2\cos^2(x)-1[/tex]

Klarer du da å skrive om [tex]\sin^2(x)[/tex] til noe som kan løses vha substitusjon?

nei men klarte å løse den med delvis integrasjon
[tex] -sinxcosx\,+\int1-sin^2x dx[/tex]
[tex]\int 1-sin^2x dx[/tex]

[tex]\int1- sin^2x dx= \int1- \frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x dx[/tex]

[tex] \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x [/tex]

[tex] \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}sinx+cosx[/tex]

[tex]\frac{1}{2}(x-sinx\,cosx)+\,C[/tex]

Det er nok desverre feil, om du har skrevet av rett fra papiret da

[tex]\int \cos^2(x)\rm{d}x=\frac12(x+\frac12\sin(2x))+C[/tex]

Edit: ser at du har funnet rett svar, men sikkert en slurv i TeX-koden din

Hvorfor brukte du delvis integrasjon på denne forresten?

det jeg tenkte var at

[tex]cos2x=1-2sin^2x[/tex]

kunne skrives som

[tex]-sin^2x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x[/tex]

så integrerte jeg uttrykket jeg fikk

[tex]\int 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x\,dx[/tex]

[tex] \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x[/tex]

[tex]sin2x=2sinxcosx[/tex]

[tex]\frac{1}{4}sin2x=\frac{1}{2}sinxcosx[/tex]

satt inn i uttrtykket:

[tex]-sinxcosx+\int cos^2x dx [/tex]

[tex]-sinxcosx+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}sinxcosx[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{1}{2}x +C[/tex]


Fungerte med substitusjon og så jeg


[tex]1-sin^2x=cos^2x[/tex]

[tex]cos^2x=\frac{1}{2}cos^2x+\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\int \frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2} dx [/tex]

integrerer først [tex]\frac{1}{2}cos2x[/tex]

[tex]u=2x\,\,\,u\prime=2[/tex]

du=dx u'

må dele på to for å trekke ut u'

og får

[tex]\int\frac{1}{2\cdot2}cosu du[/tex]

[tex]\frac{1}{4}sinu[/tex]

[tex]\frac{1}{4}sin2x[/tex]

Og resten blir det samme regnestykke

Sant ser det var lettere med substitusjon. Hadde på meg tunnelbriller når jeg løste den fordi jeg hadde løst så mange oppgaver med delvis integrasjon fra før

og så tenkte jeg ikke på å gå tilbake til [tex]cos^2x[/tex] når de hadde skrevet det om til [tex]1-sin^2x[/tex]