matematikk.net

Okey, jeg har tenkt over denne oppgaven nå men her hadde jeg ingen formeninger.

Oppgave 23.4:
Vi sykler med jevn fart rett fram bortover på et horisontalt underlag.
Et punkt [tex]P[/tex] på et av dekkene er på bakken ved [tex]t=0[/tex].
Etter [tex]t[/tex]sekunder er posisjonen til punktet[tex]P[/tex] gitt ved
[tex]\vec {r}(t)=[3\pi t -\frac{1}{4}sin(12\pi t), \frac{1}{4}-\frac{1}{4}cos(12\pi t)][/tex].

i) Hvor stor er den største farten til P?Hvor er punktet P da?

Hvordan finner jeg dette?

Den førsteordens deriverte av posisjon vs tid er hastigheten.
Den andreordensderiverte av posisjon vs tid er akselerasjonen.

Tror du kan bruke dette i oppgaven din.

På hvilken måte kan jeg bruke akselerasjon og fartsvektoren for å finne den største farten til P?

Lag en funksjon for farten uttrykt ved tiden. Du skal nå finne maksimalverdiene til denne funksjonen. Hvordan pleier du å finne maksimalverdier til funksjoner sånn ellers? Gjør det samme her. Hver gang det er snakk om å finne maksimal eller minimalverdier bør du skjønne at dette er en måte å gjøre det på.

Også her kan du tenke fysikk: Når et hjul ruller vil banefarten til et punkt på periferien være like stor som farten til hele hjulet (dvs farten til massesentrum, som er det eneste punktet som ikke er i rotasjon). Dette kan man vise ganske enkelt. For punktet på toppen vil man kunne addere disse to hastighetene, siden banefarten får samme retning som farten til hele hjulet. Farten blir da altså 2*farten til hjulet. Dette er analogt til måten vi forstod at farten til punktet som er borti bakken blir null (siden banefarten da har motsatt retning, og er like stor som farten til hjulet). Bruker du dette resonnementet vet du når farten er størst, du trenger bare sette inn en tidsverdi i uttrykket for farten som tilsvarer at punktet er i topp-posisjon, og ta lengden av fartsvektoren (som er lett, siden som jeg har forklart blir farten horisontal der).

En funksjon for farten uttrykkt ved tiden?;

Har det noe med denne å gjør?:
[tex]v(t)=[3\pi -3\pi cos(12\pi t),3\pi sin(12\pi t)][/tex]

Jeg vet ikke hvordan jeg finner funksjonen,kan noen hjelpe meg med det? Og når funksjonen er tilrettelagt er vel maksimal og minimal ved å sette inn 1 og minus 1,sant?

hvordan finner du toppunktet til en funksjon f(x) ?

a(t) = v'(t) = r''(t), for å finne maksima for a(t), hva tror du du må gjøre?

For å finne toppunktet setter jeg ;

[tex]y=1[/tex]


Fra akselerasjonsvektoren;
[tex]36\pi^2cos(12\pi t)=1[/tex]

Er jeg da på riktig spor?

Er hvertfall rett den fartsvektoren
Deriver en gang til for å finne akselerasjonsvektoren.

En annen ting, funksjonsdrøfting(kalles det i 2mx) er viktig å forstå, foreslår du går litt tilbake til det, og skriver ned noen regler du finner.

Blant andre f.eks: for fartsvektoren: [tex]f^\prime_x=0[/tex] finner toppunkter.

for akselerasjonsvektoren: [tex]f^{\prime\prime}_x=0[/tex] finner vendepunkter.

Tror kanskje a(t) er størst når v(t)=0, er ikke sikker da, skal se Bourne Ultimatum, så gidder ikke finne ut av det nå.

Nydelig forklart Badeball Blitt lite fysikk på meg i det siste, men ble litt inspirert av dine flotte ord om massesentrum og tangerende hastigheter, blir nok litt mer igjen nå fram mot skolestart. Takker for det.

Det jeg ville frem til i første del av mitt forrige innlegg var at du skal gjøre akkurat det samme som når du ellers maksimerer/minimerer funksjoner, dvs DERIVERE og finne nullpunktet til den deriverte!

Lag en funksjon for farten (dvs den totale farten til punktet), deriver mhp t, og finn nullpunktene til den deriverte. Da får du maks- og minverdiene til farten.

Poenget var: Hver gang du blir bedt om å finne ut når noe er størst og minst, så lag en funksjon, deriver den, finn nullpunkt (og evt undersøkelse av randpunkt og punkt hvor funksjonen ikke er deriverbar). Det er dette som er poenget med å lære om funksjonsdrøfting, dvs at du skal klare å BRUKE det til å finne ut ting, ikke bare når det står eksplisitt i oppgaven at du skal drøfte en funksjon!

Ja, har lest om funksjonsdrøfting når eventuelt krummingen skjer også ved f``(x) større enn null ,den hule siden er positiv og vender oppover,f``(x)mindre enn null,den hule siden vender nedover og er negativ og man slår tangenter som blir berørt på punktet P. Grafen har høy fart og er positiv fra begynnelsen stiger opp og stopper på toppunktet der er farten lik null så fortsetter den nedover er negativ med høy fart til vendepunktet som man finner ved å sette f``(x) er lik null fortsetter videre nedover med lav fart og er negativ til bunnpunktet.

Jeg skal nå prøve å finne når farten er høyest, altså toppunktet, det er når punktet y fra fartsvektoren er lik null , har jeg rett?

[tex]3\pi sin (12\pi t )=0[/tex]

Og når jeg har funnet denne t verdien så setter jeg den i akselerasjonsvektoren og dermed tar lengden av den,har jeg forstått det riktig?

Hvis du skal gjøre det på den mest instruktive måten, så skal du derivere uttrykket for FARTEN, dvs v(t) = sqrt(vx^2 + vy^2). Dvs gjør med denne funksjonen akkurat det du pleier når du drøfter funksjoner. Du bør gjøre dette, så du kan lære en viktig lekse fra denne oppgaven.

Hvis du skal bruke de fysiske argumentene, så trenger du bare argumentere for at farten er størst når punktet er på toppen av banen, og finne t-verdiene som korresponderer (dvs finn de t slik at y = 1/2, dvs så vy = 0, og vx > 0), og finn farten her. Du trenger ikke bruke akselerasjon til noe.

Grunnen til at du bør gjøre det på den første måten er at denne teknikken virker på alle mulige problemer, mens de fysiske resonnementene er spesifikke for akkurat denne oppgaven, og liknende fysikkoppgaver.

Dette er fartsvektoren: [tex]v(t)=[3\pi -3\pi cos(12\pi t),3\pi sin(12\pi t)][/tex]

Dette er akselerasjonsvektoren altså den deriverte av farten: [tex]a(t)=[36\pi^2 sin(12\pi t), 36\pi^2 cos (12\pi t)][/tex]


Skulle jeg lage en funksjon for farten slik? : [tex]f(x)=3\pi sin(12\pi t)[/tex]

Også skulle jeg derivere denne slik? : [tex]f(x)`=36\pi^2 cos (12\pi t)[/tex]

Og deretter skulle jeg finne nullpunktene til den deriverte slik? : [tex]36\pi^2 cos (12\pi t)=0[/tex]
Og løse med hensyn på t?

Skulle jeg da være i den riktige retningen ?

Nei, les det jeg skrev. Du skal derivere uttrykket for den TOTALE farten (sqrt(vx^2 + vy^2)), det er jo DEN du skal finne ut når er størst, ikke farten i y-retning. Og glem akselerasjon.

Altså: Den totale farten er gitt ved:

[tex]v(t) = \sqrt {(3\pi - 3\pi cos(12\pi t))^2 + (3\pi sin(12\pi t))^2}[/tex]

Denne funksjonen gir deg den totale farten til punktet for en hver tid. Deriverer du og finner nullpunkt vil du finne tidsverdiene som går maksimal og minimal fart. Finn ut hvilke som er topp-punkt, og finn verdien i disse.

Jeg er ikke så god på deriveringen av når det gjelder cos og sin men jeg kan prøve og håper jeg får hjelp underveis:

[tex](\sqrt {(3\pi - 3\pi cos(12\pi t))^2 + (3\pi sin(12\pi t))^2})`=[/tex]

[tex](3\pi - 3\pi cos(12\pi t)) + (3\pi sin(12\pi t))=[/tex]

Videre vet jeg ikke,vet noen andre det?