matematikk.net

vi skulle bevise at utrykket [tex[ n^3-n[/tex] er delelig med 3 for alle naturlige tall


grunnsteget n=1, fungerte.


induksjonssteget satt vi [tex]n=k+1[/tex] og fikk utttrykket [tex] (k+1)^3-(k+1)[/tex] regnet ut med en liten vri og fikk

[tex]k^3-k+3k^2+3k[/tex]

Så kom der jeg falt ut. [tex]k^3-k[/tex] ble omgjort til [tex]a3[/tex]

Hvordan fungerer det?

Etterpå kan man jo bare trekke ut 3 fra leddene. Det ser jeg.

Husker du det andre trinnet?

Anta at k^3-k er delelig på 3 for alle k<=n,( dvs k^3-k=3a for et heltall a) hvis du nå kan vise at av denne antagelsen følger at (k+1)^3-(k+1) er delelig på tre, og at n^3-n er delelig med tre for n=1, så kan du ved induksjon konkludere med at n^3-n er delelig på 3 for alle positive heltall.

å ja fordi man bare antar at k^3-k er delelig på 3 kan man dele (k+3)^3-(k+1) på 3.

Den enkleste måten er nok slik:
[tex]n^{3}-n=n(n^{2}-1)=n(n+1)(n-1)=(n-1)n(n+1)[/tex]

Vi ser derfor at uttrykket vårt alltid er produktet av tre etterfølgende heltall.
Siden tredjehvert heltall er delelig med 3 må altså ett av tallene (n-1),n og (n+1) være delelig med 3