matematikk.net

Jeg har noen spørsmål angående differensialligninger. Jeg prøver å løse denne her:
[tex]y^\prime-\frac{2y}{x}=x^2e^x\text{ }y(1)=0\text{ }x>0[/tex]

Oppgaven er å løse initialverdiproblemet. Jeg har prøvd meg litt, men jeg er langt fra sikker på om jeg har gjort riktig.

[tex]\frac{dy}{dx}-\frac{2dy}{dx}=x^2e^x[/tex]

[tex]-\frac{dy}{dx}=x^2e^x[/tex]

[tex]-dy=x^2e^xdx[/tex]

[tex]y=-\int x^2e^xdx[/tex]

Stemmer dette? Også når jeg har løst integralet så skal jeg finne konstanten sant?

Hvorfor går du fra 2y/x til 2dy/dx? Prøv heller å gange venstresida med noe passelig for så å kjenne den igjen som (f(x)*y)'.

Hehe, jeg hadde håpet det var lov, men det var det visst ikke.
Jeg skjønner ikke helt, er det her du mener jeg skal gange:

[tex]\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x}=x^2e^x[/tex]

[tex]dy-\frac{2y}{x}dx=x^2e^xdx[/tex]

No vet jeg ikke hva jeg skal gjøre.

Ta en titt på posten til Olorin her: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=18978

[tex]y^\prime-\frac{2}{x}y=x^2e^x[/tex]

[tex]\frac{2}{x}y=e^{\int\frac{2}{x}dx}=e^{2ln(x)}=x^2[/tex]

Er det rett? Da får jeg dette:

[tex]\frac{dy}{dx}=x^2e^x+x^2[/tex]

[tex]y=\int x(xe^x+x)dx[/tex]

Har jeg gjort det riktig?

Integrerende faktor er x^2, bra!

Hva har du gjort deretter? Meninga er at du skal gange hele ligninga med denne og så se litt nærmere på venstresida. Foreslår du bruker litt tid på å lese gjennom eksempelet i som er regna i den andre posten.

Tror [tex]P(x)=-\frac2{x}[/tex]

Som gir [tex]I(x)=e^{\int -\frac2{x}\rm{d}x}[/tex]

[tex]I(x)=\frac1{x^2}[/tex]

Prøv å gang med I(x) på begge sider nå

Du verden. Det var bedre, ja.

Aha, no skjønner jeg tror jeg.

[tex]y^\prime x^2-2xy=x^4e^x[/tex]

[tex]y^\prime x^2-(x^2)^\prime y=x^4e^x[/tex]

[tex](yx^2)^\prime=x^4e^x[/tex]

[tex]yx^2=\int x^4e^xdx[/tex]

Men jeg tror jeg trenger litt hjelp til å integrere det.

Er det dette du mener Olorin

[tex]y^\prime-\frac{2}{x}y=x^2e^x[/tex]

[tex]\frac{y^\prime}{x^2}-\frac{2}{x^3}y=e^x[/tex]

Men hvordan går jeg videre herfra?

Du misforstår litt med prosessen:

du har dy som er lik[tex]y^\prime\cdot I_{(x)}-y\cdot I^\prime_{(x)}[/tex]
og andre siden er lik [tex]\frac{\cancel{x^2}e^x}{\cancel{x^2}}[/tex]

dy er også lik [tex](y\cdot I_{(x)})^\prime[/tex]

Så du står igjen med:
[tex]\int (y\cdot I_{(x)})^\prime=\int e^x dx[/tex]
[tex]\down[/tex]
[tex]f_{(x)}=x^2(e^x+C)[/tex]
Nå skal det være rett, sjekket løsningen min etterpå på den magiske siden, var ikke helt rett første gangen, men du får prøve selv her ifra

Ja det var det jeg mente, fikk samme som mr. bartleif.

Hvilken magisk side forresten?

http://www.tekstud.no/index.php?skole=Alle , er bare en side som såvidt svinger innom emnene, så for karer som meg og thmo er det godt å ha denne siden også
Men du forstår sikkert dette endel bedre enn oss, så blir sikkert lærerikt
Takk for den fine gjennomgangen din som mrcreosote postet igjen

Jeg skjønner det med produktregelen baklengs, men hvis jeg ganger ligningen med [tex]\frac{1}{x^2}[/tex] så får jeg dette:

[tex]\frac{y^\prime}{x^2}-\frac{2}{x^3}y=e^x[/tex]

Hvordan er dette det samme som [tex]y^\prime\cdot\frac{1}{x^2}-y\cdot(\frac{1}{x^2})^\prime[/tex]

[tex](\frac{1}{x^2})^\prime[/tex] er vel [tex]-\frac{2x}{x^4}[/tex]

Hehe, jeg ser no at det er jo faktisk det samme. På tide å se litt mer nøye over tingene kanskje

Ok, da har jeg igjen [tex]y=x^2(e^x+C)[/tex]

Da blir initialverdiproblemet slik:

[tex]y(1)=0[/tex]

[tex]y=1^2(e^1+C)=0[/tex]

[tex]e+C=0[/tex]

[tex]C=-e[/tex]

Kan dette stemme?

Jepp det blir riktig, måtte sjekke fasiten.

Løsningen blir da altså: [tex]y=x^2(e^x-e)[/tex]