matematikk.net

[tex]De^{k_d\,\,dt}=\int k_pP_0e^{-k_pt}\cdot e^{\int k_d\,\,dt}\,\,\,dt[/tex]

[tex]k_p[/tex] er nedbrytningskonstanten for [tex]\frac{226}{86}Ra[/tex] som brytes ned til [tex]\frac{222}{86}Rn[/tex] og [tex]k_d[/tex] er nedbrytningskonstanten til [tex]\frac{222}{86}Rn[/tex] som brytes ned til [tex]\frac{218}{84}Po[/tex].

Halveringstiden for Ra er 1600 år, mens den for Rn er 3.82 dager

vi skal finne antall atomer av Rn som er igjen etter t år har gått. D(t). For å finne dette må vi ha et uttrykk som viser nedbrytniongen til Rn og hvor mange av disse som blir nedbrutt til Po.

Jeg har prøvd å først integrere integralet inni integralet og deretter integralet og fikk

[tex]k_pP_0\cdot e^{\frac{1}{2}k_d^{\,\,2}}\cdot\frac{e^{-k_pt}}{-kp}[/tex]

Men uttrykket skal bli til

[tex]D(t)=\frac{k_p\cdot P_0}{k_d-k_p}\cdot[e^{-kpt}-e^{-kdt}][/tex]

integralet skal løses som et bestemt integral mellom t=0 og t=t

Integralet inni integralet blir [tex]e^{k_d t+C}[/tex]

[tex]\int k_pP_0e^{-k_p t}\cdot e^{k_d t}\rm{d}t[/tex]

[tex]k_pP_0\int e^{t(k_d-k_p)}\rm{d}t[/tex]

[tex]u=t(k_d-k_p),\,\ \frac{\rm{d}u}{\rm{d}t}=k_d-k_t,\,\ \rm{d} t =\frac{\rm{d}u}{k_d-k_t}[/tex]

[tex]\frac{k_p P_0}{k_d-k_t}\int e^u\rm{d}u=\frac{k_p P_0}{k_d-k_t}\cdot e^u+C=\frac{k_p P_0}{k_d-k_t}\cdot e^{t(k_d-k_p)}+C[/tex]