matematikk.net

Finn avstanden fra linja

[tex]l:\; x=2t+1 \;\wedge\; y=2t \;\wedge\; z=t+6 [/tex]

til x-aksen.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Tenker at x-aksen har et vilkårlig punkt [tex](t, 0, 0)[/tex]

På linja l, er etthvert punkt gitt ved; [tex](2t+1, 2t, t+6)[/tex]

Avstanden mellom disse to punktene;
[tex]\sqrt{(2t+1-t)^2 + (2t-0)^2 + (t+6-0)^2} = \\ \, \\ \sqrt{(t+1)^2 + (2t)^2 + (t+6)^2} = \\ \, \\ \sqrt{t^2 + 4t^2 + t^2 + 2t + 12t + 1+36} = \\ \, \\ \sqrt{6t^2 + 14t + 37}[/tex]

Avstanden er minst når radikanden er på et bunnpunkt;
[tex]f(t) = 6t^2 + 14t + 37 \\ \, \\ f\prime(t) = 12t+14 \\ \, \\ f\prime(t) = 0 \\ \, \\ \, \\ t = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6}[/tex]

Så avstanden er:
[tex]\sqrt{6\left(-\frac{7}{6}\right)^2 + 14\left(-\frac{7}{6}\right) + 37} = \\ \, \\ \sqrt{\frac{6\cdot 49 \, -\, 14 \cdot 7 \cdot 6 \, +\, 36\cdot 37}{36}} = \\ \, \\ \sqrt{\frac{1038}{36}} = \frac{\sqrt{1038}}{6}[/tex]

Men dette er ikke riktig, så hvorfor blir det feil?

liten digresjon(siden jeg vet du er så glad i tex)

[tex]l:\{x=\\y=\\z=[/tex]

Takk skal du ha barten! :]
Skjønner du hvorfor jeg ikke kommer frem til riktig svar eller?

Problemet er at (t,0,0) ikke er et vilkårlig punkt på linja når t allerede brukes i parameterframstillinga; du finner avstanden mellom (2t+1,2t,t+6) og (t,0,0).

Det nærmeste punktet på x-aksen er (2t+1,0,0)

Avstanden blir da:

[tex]\sqrt{0^2+(2t)^2+(t+6)^2}[/tex]

Er vel bare å derivere radikanden da.

Stemmer det?

Edit: hvis creosote sier det samme er det sikker rett!

Hei, og takk for svar.

Litt usikker på hvorfor et vilkårlig punkt på x-aksen blir (2t+1, 0, 0)

Vil noen av dere utdype det?

Det stemmer ikke at et vilkårlig punkt på x-aksen blir P=(2t+1,0,0), det er fortsatt bestemt av parametriseringa. Men som BMB sier er P punktet på x-aksen som ligger nærmest Q=(2t+1,2t,t+6) nettopp P; projeksjonen av Q på x-aksen er P. Prøv å se dette for deg. Blir det vanskelig kan du flytte ting ned i planet først: Tegn et vilkårlig punkt R=(u,v) i planet. Hvilket punkt på x-aksen ligger nærmest R? På y-aksen?

Takker og bukker for forklaringen, sitter her og prøver meg frem litt nå