matematikk.net

Har prøvd veldig mye forskjellig med dette integralet, men synes ikke noe fører frem. Vil noen være greie å vise meg litt?

[tex]\pi \cdot \int_4^5 \left(\frac{x-2}{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}\right)^2 \rm{d}x[/tex]

[tex]\pi \cdot \int_4^5 \left(\frac{x^2 -4x +4}{x^2 - 4x + 3}\right) \rm{d}x[/tex]

Vet ikke om dette hjelper noe særlig, men man kan redusere det litt tror jeg.

[tex]\pi\int_4^5 \frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+3}\rm{d}x=\pi\int_4^5\frac{x^2-4x+3}{x^2-4x+3}+\frac{1}{x^2-4x+3}\rm{d}x \\ \pi\int_4^5\rm{d}x + \pi\int_4^5\frac{1}{x^2-4x+3}\rm{d}x \\ \pi+\int_4^5\frac{1}{x^2-4x+3}\rm{d}x=\pi+\pi\int_4^5\frac{1}{x-1}\cdot\frac{1}{x-3}\rm{d}x[/tex]

Så bruke delvis kanskje?

1)
polynomdivisjon

2)
delbrøksoppspalting

dette skulle føre fram.

Du har at

[tex]\frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+3}=\frac{x^2-4x+3+1}{x^2-4x+3}=1+\frac{1}{x^2-4x+3}=1+\frac{1}{(x-1)(x-3)}[/tex]

Herfra delbrøkoppspalter du.

Takk fish, espen180 og Janhaa!

Janhaa wrote:1)
polynomdivisjon

2)
delbrøksoppspalting

dette skulle føre fram.

Ingen av de to er pensum i 3MX, så det er pussig at de har gitt denne i oppgavesamlingen. Dette er jo en gyllen mulighet til å finne ut hva delbrøkoppspalting er da, hehe.

Tittet litt på polynomdivisjon i Per. Det blir slik:

[tex](x^2-4x+4) : (x^2-4x+3) = 1+\frac{1}{x^2-4x+3} \\ 0[/tex]

Og nevneren er som fish også nevner:

[tex]1+\frac{1}{(x-1)(x-3)}[/tex]

Antar at delbrøkoppspalting blir slik:

[tex]\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3} \\ \, \\ \frac{A(x-3)+B(x-1)}{(x-1)(x-3)} \\ \, \\ \frac{x(A+B) -(3A+B)}{(x-1)(x-3)} [/tex]

Da skal vel:
[tex]A+B=0 \\ \, \\ A=B \rightarrow \; 3B+B=1 \\ \, \\ B=\frac 14[/tex]

Det er jo ikke noen koeffesient foran x her, så da antok jeg at A+B=0, er dette riktig?

[tex]\frac{-\frac 14}{x-3} = -\frac{1}{4x-12}[/tex]

[tex]\pi \int_4^5 \left(1 -\frac{1}{4x-12}\right)\rm{d}x = \pi\int_4^5 1\rm{d}x - \pi \int_4^5 \frac{1}{4x-12}\rm{d}x = \left[\pi x - \pi\ln|4x-12|\right]_4^5[/tex]

[tex]\left(5\pi -\pi \ln|8|\right) - \left(4\pi -\pi\ln|4|\right) = \pi+\pi\ln|4|-\pi\ln|8| = \pi + \pi\ln|\frac 12|[/tex]

Ble nok ikke riktig det heller, hehehe. Så da antar jeg at det er noe galt med delbrøkoppspaltingen min?

Det ser ut som første feil kommer fra A+B=0 -> A=B. Pass også på minustegnet foran 3A+B, og husk å integrere A/(x-1).

Nå skulle jeg vel heller sovet enn forsøkt å lære meg noe nytt, men skitt au, dette var artig, hehe.

Etter beste forsøk skal jeg ta det du sier til etterretning.

[tex]\frac{A(x-3)+B(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x(A+B) +(-B-3A)}{(x-1)(x-3)}[/tex]

Får to likninger: (mrcreosote sier A+B=0 er feil, men jeg trodde det var 0, for vi har jo ikke noen x i teller og da er jo koeffesienten 0.)

[tex]A+B=0 \;\;\wedge\;\; -B-3A=1 \\ \, \\ A=B \;\;\rightarrow \;\; B=-\frac 14 \\ \, \\ A = -\frac 14[/tex]

Så da skal jeg vel få integranden:
[tex]1-\frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{4(x-3)}[/tex]

Er det trygt å fortsette, hehehe ?? :]

Jeg støtter nok soveteorien din; hvis A+B=0, er A=-B.

HAHAHAHAHAHA
Ja, jeg tror nok det er best :]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
[tex]\frac{A(x-3)+B(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x(A+B) +(-B-3A)}{(x-1)(x-3)}[/tex]

Får to likninger:

[tex]A+B=0 \;\;\wedge\;\; -B-3A=1 \\ \, \\ A=-B \;\;\rightarrow \;\;B=\frac 12 \\ \, \\ A = -\frac 12[/tex]

Så da skal jeg vel få integranden:
[tex]1-\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)} = 1-\frac{1}{2x-2} + \frac{1}{2x-6}[/tex]

Ser dette greit ut? :]

EDIT:
Dropper grensene i første omgang:
[tex]\int(1-\frac{1}{2x-2} + \frac{1}{2x-6})\rm{dx} = \int 1\rm{dx} - \int(\frac{1}{2x-2})\rm{dx} + \int(\frac{1}{2x-6})\rm{dx} \\ \, \\ \int(1-\frac{1}{2x-2} + \frac{1}{2x-6})\rm{dx} = \int 1\rm{dx} - \frac 12\cdot \int(\frac{1}{2x-2} \cdot 2)\rm{dx} + \frac 12 \cdot \int(\frac{1}{2x-6} \cdot 2)\rm{dx} \\ \, \\ \int(1-\frac{1}{2x-2} + \frac{1}{2x-6})\rm{dx} = \underline{x-\frac 12\ln(|2x-2|) + \frac 12\ln(|2x-6|) + C}[/tex]

[tex]\pi \cdot \left[x-\frac 12\ln\left(\frac{|2x-2|}{|2x-6|}\right) \right]_4^5 = \pi \cdot \left( \left(5- \frac 1 2 \ln\left(2)\right) - \left(4-\frac 12\ln(3)\right)\right) = \underline{\underline{\pi \cdot \left(1+\frac 12 \ln\left(\frac 32\right)\right)}}[/tex]

HIPP HIPP HURRA!
Nå skal der feires med en episode hotel cæsar! hahahaha

Det ser riktig ut, men jeg også trøtt, så ikke stol for mye på meg. Over og ut.

Hvis du først skal bryte med pensum, så er en annen, og kanskje litt mindre omstendelig måte å gjøre dette å skrive om [tex]\int \frac{\rm{d}x}{x^2-4x+3} = \int \frac{\rm{d}x}{(x-2)^2-1}[/tex], og huske at [tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\rm{arctanh}(x) = \frac{1}{1-x^2}[/tex]

(Det siste derivatet bør du lære deg, sammen med [tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}[/tex]. Disse kan ofte vise seg å være nyttige.)

Tusen takk for tipsene daofeishi, jeg skal sjekke ut dette, men føler jeg har endel som bør komme på plass før jeg avanserer ytterligere.

Jeg tror jeg taklet delbrøkoppspaltingen i dette tilfellet (løsningen er ovenfor). Hjertlig takk for "følget" mrcreosote :]

Delbrøkoppspalting og polynomdivisjon var litt artig, og slik jeg har forstått det, vil man ha en "ekte brøk" når man skal gjøre det. DVS: En brøk der polynomet i teller er av lavere grad enn det i nevner, og når telleren er så kompleks at det kan lønne seg å skrive den om til delbrøker. Er dette riktig?