matematikk.net

Oppgaven er:

Prove the limit statement:

lim [sub]x->-2[/sub] f(x) = 4 if

f(x) = x [sup]2[/sup], x [symbol:ikke_lik] 2
f(x) = 1, x = 2

Dette har jeg gjort så langt:

| x [sup]2[/sup] - 4 | < E

-E < x [sup]2[/sup] - 4 < E

4 - E < x [sup]2[/sup] < 4 + E

[symbol:rot] 4 - E < |x| < [symbol:rot] 4 + E

Men hva gjør jeg videre?

Usikker på om jeg skjønte helt hva oppgaven din spurte etter, men om det ikke er verre enn å vise at grenseverdien av f(x)= x[sup]2[/sup] når x går mot -2 er lik 4 tror jeg at jeg skal klare det.

Fra definisjonen av grenseverdier må det for enhver epsilon (E) < 1 finnes en delta (D) slik at når |x-(-2)|=|x+2|<D er |x[sup]2[/sup] - 4| < E. Først jukser vi litt og innfører størrelsen h=x+2, som medfører at x=h-2. Så ser vi på ulikheten |x[sup]2[/sup] - 4| < E.

|x[sup]2[/sup] - 4| < E
|(h-2)[sup]2[/sup] - 4| < E
|h[sup]2[/sup] - 4h + 4 - 4| < E
|h[sup]2[/sup] - 4h| < E
|h||h-4| < E

Vi ser her at om vi velger h (strengt tatt delta) liten nok vil vi kunne gjøre dette uttrykket mindre enn en hvilken som helst E. (Du kan forsåvidt presisere hvor liten delta må være i forhold til epsilon, men dette skal du få gjøre selv.)