matematikk.net

Jeg forsøker å finne denne grenseverdien.

[tex]\lim_{n \to \infty}(1+ \frac{3}{n})^n[/tex]

Har ikke peiling hvor jeg skal begynne. Det eneste jeg merker meg at den ligner på grenseverdien til Eulers tall.

Prøv å sette n=3m og bruk noen regler om grenseverdier.

Ja! Det funket.

[tex]\lim_{n \to \infty}(1+\frac{3}{n})^n=\lim_{m \to \infty}(1+\frac{1}{m})^{3m}=\lim_{m \to \infty}((1+\frac{1}{m})^m)^3=[\lim_{m \to \infty}((1+\frac{1}{m})^m)]^3[/tex]

Dette gir at grenseverdien oppgaven er ute etter er [tex]e^3[/tex]. Videre kan man jo slik finne grenseverdien til enhver potens av e.

Takk!

Ja, den var smart. Jeg gjorde den på mye mer tungvint måte

[tex]L=\lim_{n\to\infty}(1+\frac3n)^n\\ \ln(L)=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{3}{n})}{1\over n}\\ \text anvender L Hopitals regel\\ \ln(L)=\lim_{n\to\infty}\frac{(\frac{1}{1+{3\over n}})\cdot{-3\over n^2}}{-1\over n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{3}{1+{3\over n}})=3\\ L=e^3[/tex]