matematikk.net

Hei.
Har tenkt litt på implisitt derivasjon, og lurer på om dette blir riktig.

[tex]y = \arctan x \\ \, \\ x = \tan y[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\,\tan y = \frac{d}{dx}\, \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{1}{\cos^2 y}[/tex]

Dermed;
[tex]y\prime = \frac{1}{\cos^2\left(\arctan x\right)} = \frac{1}{(\sqrt{x^2 +1})^2} = \frac{1}{x^2 + 1}[/tex]

Er dette riktig?

Edit: rettet en leif.

MatteNoob wrote:Hei.
Har tenkt litt på implisitt derivasjon, og lurer på om dette blir riktig.
[tex]y = \arctan x \\ \, \\ x = \tan y[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\,\tan y = \frac{d}{dx}\, \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{1}{\cos^2 y}[/tex]
Er dette riktig?

hmmm, du sier at
[tex]\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\tan(y))[/tex]

men er ikke y = arctan(x) ?

du sier y = tan(y)

Hei, Janhaa!
Du sikter til at jeg roter med [tex]\frac{d}{dx}[/tex] her? - Jeg er usikker på denne notasjonen.

Det jeg mente var vel at:
[tex]y = \arctan x \\ \, \\ x = \tan y[/tex]

Og jeg vil derivere funksjonen x(y) med hensyn på y.

Da blir det vel:

[tex]\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\,\tan y = \frac{d}{dy}\, \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{1}{\cos^2 y}[/tex]

Dermed;
[tex]y\prime = \frac{1}{\cos^2\left(\arctan x\right)} = \frac{1}{(\sqrt{x^2 +1})^2} = \frac{1}{x^2 + 1}[/tex]

Er dette riktig?

MatteNoob wrote:Hei, Janhaa!
Du sikter til at jeg roter med [tex]\frac{d}{dx}[/tex] her? - Jeg er usikker på denne notasjonen.
Det jeg mente var vel at:
[tex]y = \arctan x \\ \, \\ x = \tan y[/tex]
Og jeg vil derivere funksjonen x(y) med hensyn på y.
Da blir det vel:
[tex]\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\,\tan y = \frac{d}{dy}\, \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{1}{\cos^2 y}[/tex]

MathNoob;

Notasjonen ser bedre ut, men er ikke helt riktig.
Noe i den duren. Er litt sliten nå.

-----------------------------------
[tex]y=\arctan(x)[/tex]
[tex]x=\tan(y)[/tex]
deriverer begge sider;
[tex]1=(1+\tan^2(y))\cdot y^,[/tex]

[tex]y^,=\frac{1}{1+\tan^2(y)}=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

HUSK AT

[tex]\frac{dy}{dx}=y^,(x)[/tex]

og

[tex]\frac{dx}{dy}=x^,(y)[/tex]

Men svaret ditt er riktig...

Takk for det!
Hjelper ikke at svaret er riktig, når jeg rabler som en gris, haha.

Jeg tror jeg skal undersøke dette videre senere, er trøtt som ei strømpe sjæl. :]

Jeg vil derivere denne "funksjonen" med hensyn på x.
[tex]y^4 + 2x^2y-3xy^2 = 1[/tex]

[tex]4y^3 \cdot \frac{dy}{dx} + \left(\underbrace{4xy + 2x^2\cdot \frac{dy}{dx}}_{\text{produktregelen}}\right) - \left(\underbrace{3y^2 + 6xy\cdot \frac{dy}{dx}}_{\text{produktregelen}}\right) = 0[/tex]

[tex]\left(4y^3 + 2x^2 - 6xy\right)\cdot \frac{dy}{dx} = 3y^2-4xy \\ \, \\ \frac{dy}{dx} = \frac{3y^2-4xy}{4y^3 + 2x^2 - 6xy} [/tex]

Blir dette riktig?

Korrekt. Bra MathNobb.

Jippi!!!
Dette skal jeg leke mer med.