matematikk.net

To linjer l og m er gitt ved [x,y,z]=[1,0,3] + t[4,-1,1] og [x,y,z]=[4,-2,2] + t[5,1,-2].

Finn en parameterframstilling for et plan som inneholder l, og som er parallell med m.


Jeg trenger bare litt starthjelp, vil jeg tro.

Tar forbehold om feil her, for jeg har aldri laget parameterfremstillinger for plan før, de er vel avhengig av to variabler? Hva slags pensum er dette?

Kanskje dette kan sette deg på sporet, men som sagt, dette er et skudd i blinde.

Hvis vi kaller planet [tex]\alpha[/tex], så vet du at [tex]\vec {n_\alpha} \perp l[/tex]

Du vet også at [tex]l \parallel m\cdot k[/tex] fordi et plan enten parallelt med ei linje, eller så krysser de.

EDIT:
Skulle ikke dette bety at normalvektoren til planet står vinkelrett på begge linjene da tro? Skulle mene det.

hmm..

Det er pensum for tredje klasse realfagsmatte ;p hehe..

Jeg skjønte ikke så mye av det, igrunnen. ;s

Du vet at normalvektoren [tex]\vec n[/tex] til et plan, står normalt på etthvert punkt i planet?

Det impliserer jo at [tex]\vec n \perp l[/tex] siden linjen l er i planet (og følgelig er alle punkter på l også i planet).

Når to linjer er parallelle, så betyr jo det at de har samme avstand fra hverandre overalt (eller at de er like).

Det betyr jo at [tex]\vec n \perp m[/tex]

Jeg kan ikke dette, men planet [tex]\Pi:\,z=\frac15x-\frac15y+\frac52[/tex] ser ut til å passe, tror jeg... (Jeg aner ikke om dette planet er riktig, men ligger det ikke på linja da)

[tex]l:\,\,\,[x,y,z]=[1,0,3] + t[4,-1,1][/tex]
[tex]m:\,\,\, [x,y,z]=[4,-2,2] + t[5,1,-2][/tex]

[tex]\Sigma:\,\,\, [x,y,z] = [1,0,3]+s[4,-1,1]+t[5,1,-2][/tex]

Emomilol wrote:[tex]l:\,\,\,[x,y,z]=[1,0,3] + t[4,-1,1][/tex]
[tex]m:\,\,\, [x,y,z]=[4,-2,2] + t[5,1,-2][/tex]

[tex]\Sigma:\,\,\, [x,y,z] = [1,0,3]+s[4,-1,1]+t[5,1,-2][/tex]

Gidder du å utdype og begrunne litt emomilol?

Emomilol wrote:[tex]l:\,\,\,[x,y,z]=[1,0,3] + t[4,-1,1][/tex]
[tex]m:\,\,\, [x,y,z]=[4,-2,2] + t[5,1,-2][/tex]

[tex]\Sigma:\,\,\, [x,y,z] = [1,0,3]+s[4,-1,1]+t[5,1,-2][/tex]

Ja, det er riktig svar! Men jeg skjønner ikke hvordan man kommer frem til det?

Det er litt vanskelig å forklare uten tegninger (hvis du bruker boka R2 - sjekk på side 24), men jeg skal prøve.

Et plan er bestemt av tre punkter som ikke ligger på en rett linje. Dette betyr at et plan også må være bestemt av ett punkt og to ikkeparallelle vektorer.

Prøv å se for deg et punkt A i rommet, og to ulike vektorer [tex]\vec u[/tex] og [tex]\vec v[/tex] med utgangspunkt i A. Hvis du da roterer et plan [tex]\Sigma[/tex] slik at [tex]\vec u[/tex] og [tex]\vec v[/tex] ligger i planet, ser du at du at et hvert punkt i [tex]\Sigma[/tex] fås ved [tex]\vec{OA} + s\vec u + t\vec v[/tex].

For å si det siste litt lettere; først går du fra origo til et kjent punkt i planet. Så går du en viss lengde langs den ene vektoren som utspenner planet, og til slutt går du en viss lengde langs den andre vektoren som utspenner planet. (Du kan nesten tenke deg at planet er et skjevt koordinatsystem i rommet, der [tex]\vec u[/tex] og [tex]\vec v[/tex] er x- og y-aksen.)


For å løse oppgaven tenkte jeg slik;
Planet skal være prallellt med m, og inneholde l. Linjen l er gitt ved [tex][1,0,3] + t[4,-1,1][/tex], så denne må vi ha med i planet. Vi har nå ett kjent punkt i planet, og en vektor som utspenner planet. For å finne den andre vektoren må vi finne en vektor som er parallell med m; men det er jo [tex]\vec {r_m}[/tex].

Nå har vi to vektorer og ett kjent punkt i planet:

[tex]\Sigma:\,\,\,[x,y,z] = [1,0,3]+s[4,-1,1]+t[5,1,-2][/tex]

Si fra hvis noe trenger oppklaring.

Jeg forstod det. Veldig god forklaring Emomilol! Det ble forståelig nå.

Jeg leste litt i R2 boka, og skjønte det halvveis litt bedre også med dine forklaringer.
Det eneste jeg lurer på hvordan du vet du skal bruke punktet til linja l, og ikke linja m? Er det fordi linja l ligger i planet, eller noe?

Ja, det står jo at l skal ligge i planet. Dersom punktet på l er med i planet, og det i tillegg er parallellt med linja, vil alle punkt på l ligge i planet -- altså vil linja ligge i planet. m skal derimot bare være parallell med planet. Hvis vi tar punktet fra m, vil m ligge i planet, men da vil l ligge utenfor.

Jeg tror det er fordi planet inneholder hele linja l. Da er det bare å ta hele linje l's definisjon [tex]l:[1,0,3]+t[4,-1,1][/tex] med i planligningen.

Takk.. Nå skjønte jeg det bedre