matematikk.net

Jeg har en oppgave som jeg er nesten ferdig med, men har en siste utregning som jeg står fast i. Det gjelder den formelle definisjonen av grenseverdi ([tex]\varepsilon - \delta-[/tex]definisjonen).

I oppgaven skulle jeg bruke [tex](\varepsilon - \delta-[/tex]definisjonen) til å vise at [tex]\lim_{x\to 1}\frac{2x^2+2}{x+1}=2 [/tex]

her er så langt jeg kom i oppgaven, får håpe få litt hjelp med den siste biten

gitt en [tex]\varepsilon >0[/tex] , så eksisterer en[tex] \delta >0 (\delta= \delta(\varepsilon)>0)[/tex]

vil vise [tex]0<|x+1|< \delta \Rightarrow |\frac{2x^2+2}{x+1}-2|< \delta .[/tex]

[tex]|\frac{2x^2+2-2(x+1)}{x+1}|< \delta[/tex]

[tex]|\frac{2x^2+2-2x-2)}{x+1}| < \delta[/tex]


[tex]|\frac{2x^2-2x}{x+1}| < \delta[/tex]


[tex]|\frac{2x(x-1)}{(x+1)}|<\delta[/tex]

hvordan finner jeg nå [tex]\varepsilon[/tex] ?

Edit: ops, my bad

Det er ikke eps, men delta du skal finne. Du vil vel også ha 0<|x-1|<d. Hvis du nå kan estimere 2x/(x+1), er du godt på vei.

mrcreosote wrote:Det er ikke eps, men delta du skal finne. Du vil vel også ha 0<|x-1|<d. Hvis du nå kan estimere 2x/(x+1), er du godt på vei.

hva mener du... sorry, men forstod ikke helt

Anta at d<1/2. Da er 1/2<x<3/2. (Men x er ikke 1, det kommer jeg ikke til å fortsette å skrive.) Dette gir 1<2x<3 og 3/2<x+1<5/2. Ser du nå at du kan estimere |2x/(x+1)|, altså finne ei øvre grense, si k, for denne? Hva nå hvis du velger d=eps/k forutsatt at dette er mindre enn 1/2?

Prøv deg litt fram med dette. Epsilon-delta er ikke lett, men man får taket på det om man trener mye og bruker hue litt. Virker som du er et stykke på vei, lykke til videre!

takk for infoen skal prøve ...