matematikk.net

Hei.

Jeg har drevet med en oppgave om populasjonsdynamikk. Jeg bruker symbolet k for lambda (egenverdi), og & for "ikke lik" (overstrøket likhetstegn.) I et av de siste spørsmålene står det;

Vi skal gjøre en modifikasjon av overgangsmatrisen M, ved å sette på en parameter q og la;

Mq=

0 1,05 0,25 + q
0,8 0 0
0 0,8 0

For q = 0 hadde vi en egenverdi gitt ved k = 1, noe som ga oss en bærekraftig populasjon, dvs. at populasjonen over tid stabiliserer seg på et visst nivå. For q & 0 vil ikke lenger k = 1 være noen egenverdi. Dersom alle egenverdiene har absoluttverdi mindre enn 1, vil populasjonen dø ut og dersom en egenverdi er større enn 1, så vil populasjonen vokse over alle grenser. Kan du gi en forklaring på dette?

Har noen tanker om dette? Jeg er redd jeg ikke skjønner helt. Hvorfor vil populasjonen vokse over alle grenser med egenverdier på større enn 1? Håper dere kan hjelpe meg.

Du har
[tex]X_{n+1}=M_qX_n[/tex], som gir
[tex]X_n=M_q^nX_0[/tex]

Poenget er imidlertid at vi også kan skrive:

[tex]X_n=c_1k_1^nv_1+c_2k_2^nv_2+c_3k_3^nv_3[/tex], der [tex]v_i[/tex] er en egenvektor som korresponderer med [tex]k_i[/tex].

Hvis da en av [tex]k_i[/tex]-ene er større enn 1 i absoluttverdi, kan du se hvordan løsningen "eksploderer" når [tex]n[/tex] går mot uendelig. Hvis imidlertid alle [tex]k_i[/tex]-ene er mindre enn 1 i absoluttverdi, vil alt gå mot null.

Tusen takk. Der skjønte jeg endelig.

Et spørsmål til;

Jeg har funnet egenverdiene -0,8 -0,2 og 1for tredjegradspolynomet jeg fikk fra matrisen. For -0,8 fikk jeg egenvektorene 1, -1 og 1. For -0,2 fikk jeg egenvektorene 1, -16 og -4. For 1 fikk jeg egenvektorene 1, 0,8 og 0,64

Spørsmålet jeg har fått er

Nå skal vi utnytte denne oppsplittingen av egenvektorer til å beregne P[sub]n[/sub]=M[sup]n[/sup]P[sub]0[/sub] for alle verdier av n. Oppgaven er altså å finne en formel for P[sub]n[/sub] ved hjelp av verdiene i vektoren P[sub]0[/sub] og n. Bruk så formelen til å angi hva som skjer med populasjonen i det lange løp, dvs. grenseverdien for P[sub]n[/sub] når n--> [symbol:uendelig]

Kan noen hjelpe meg å regne ut dette. Jeg forstår ikke spørsmålet. Tusen takk for all hjelp!

Under forutsetning av at egenverdiene og egenvektorene er korrekte, får vi
[tex]P_n=c_1(-0.8)^n\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right]+c_2(-0.2)^n\left[\begin{array}{r}1\\-16\\-4\end{array}\right]+c_3(1)^n\left[\begin{array}{r}1\\0.8\\0.64\end{array}\right][/tex]

For å få bestemt konstantene [tex]c_i[/tex], setter du [tex]n=0[/tex] og utnytter at du kjenner [tex]P_0[/tex]. Du får altså å løse tre likninger med tre ukjente. Det er klart at bare [tex]c_3[/tex] er interessant i det lange løp siden de øvrige leddene går mot null.

fish wrote:Under forutsetning av at egenverdiene og egenvektorene er korrekte, får vi
[tex]P_n=c_1(-0.8)^n\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right]+c_2(-0.2)^n\left[\begin{array}{r}1\\-16\\-4\end{array}\right]+c_3(1)^n\left[\begin{array}{r}1\\0.8\\0.64\end{array}\right][/tex]

For å få bestemt konstantene [tex]c_i[/tex], setter du [tex]n=0[/tex] og utnytter at du kjenner [tex]P_0[/tex]. Du får altså å løse tre likninger med tre ukjente. Det er klart at bare [tex]c_3[/tex] er interessant i det lange løp siden de øvrige leddene går mot null.

La oss si at P[sub]0[/sub] = [ 120 30 40 ]

Hvordan utnytter jeg P[sub]0[/sub]?

Og hvordan ser du at C[sub]1[/sub] og C[sub]2[/sub] går mot null? Fordi de inneholder negative elementer?

Bump

Det ser du fordi verdiene som blir opphøyd i n er mellom -1 og 1, og vil dermed gå mot null, uansett hva konstanten er.