matematikk.net

Er det mulig å isolere x i ligninger á

[tex]x^x=k[/tex]

der [tex]k[/tex] er en konstant?

Jeg gjorde et forsøk, men kom ingensteds:

[tex]x^x=k \\ \frac{\ln(k)}{\ln(x)}=x \\ x\cdot \ln(x)=\ln(k)[/tex]

(Jeg kan ikke dette, ville bare si at det er en generell løsning.)

Etter litt Google-fu, fant jeg denne løsningen:

[tex]x = \frac{ln(k)}{W[ln(k)]}[/tex]

(Der W er omegafunksjonen)

Fant løsningen her: http://www.hostsrv.com/webmab/app1/MSP/ ... e&s3=basic

Og siden jeg ikke hadde peiling på hva ProductLog/W var, fant jeg ut at det var det samme som omegafunksjonen, som jeg heller ikke vet hva er, men det er hvertfall et kjent ord

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert%27s_W_function (omegafunksjonen)

Skyt meg hvis jeg tar feil, o' vise nerder.

Ser ut som det er løsningen.

Skulle ønske jeg skjønte hva omegafunksjonen egentlig er. For eksempel, hvordan gjør jeg om [tex]\frac{\ln(k)}{W[\ln(k)]}[/tex] til et cirkauttrykk med tall? Det sto på wiki at man ikke kan uttrykke omegafunksjonen med elementære funksjoner. Hvordan kan man da uttrykke den? Huff, så mange spørsmål...

Kan noen gi et lettfattelig sammendrag?

Hvilken x vil du isolere? Først kan du isolere potensen:

[tex]x^{x} = k[/tex]

Ta naturlig logaritme av tallene på begge sidene
[tex]ln{x^{x}} = ln{k}[/tex]

Jfr. logaritmeregler på venstresiden
[tex]xlnx = lnk[/tex]

Del på lnx på begge sider
[tex]x = \frac{lnk}{lnx}[/tex]



Videre kan du isolere x'en i grunntallet:

Gå tilbake ett skritt:
[tex]xlnx = lnk[/tex]

Del på x istedet for lnx:
[tex]lnx = \frac{lnk}{x}[/tex]

Opphøy e i begge sidene:
[tex]e^{lnx} = e^{\frac{lnk}{x}}[/tex]

[tex]e^{lnx} = x[/tex]

så da har du:

[tex]x = e^{\frac{lnk}{x}}[/tex]

Gnome, det der hjelper jo ikke. Når man isolerer x får man x alene på én side av likhetstegnet, uten noen x-er på den andre siden.

W funksjonen er den inverse av xe^x. Hvis du har f.eks en ligning a^x=bx så kan du løse den ved å bruke det. Du setter [tex]A=-ln(a)[/tex] og [tex]k=-\frac{ln(a)}{b}[/tex] Så kan du finne en løsning ved å skrive det om til [tex]Axe^{Ax}=k[/tex] så blir svaret [tex]x=\frac{w(k)}{A}[/tex]
For å finne Productlog kan du bruke denne: http://functions.wolfram.com/webMathema ... &digits=10
Vet ikke hvordan man finner andre potensielle løsninger, så hvis noen vet noe så må dere bare si ifra

Håper det kan hjelpe litt ihvertfall. Er vel noe ala det samme som skjer med den ligningen din.

[tex]x^x = k[/tex]

[tex]x= k^{\frac {1}{x}}[/tex]

[tex]x ln(k) = ln(k) e^{{\frac {ln(k)}{x}}[/tex]

[tex]ln(k)=\frac {ln(k)} {x} e^{{\frac {ln(k)}{x}}[/tex]

[tex]W(ln(k))=\frac {ln(k)} {x}[/tex]

[tex]x= \frac {ln(k)} {W(ln(k))}[/tex]

Håper dette stemmer. Har brukt at W(a e[sup]a[/sup]) = a, men ellers er det vel bare standard algebra. Når det gjelder hvordan man skal regne ut W(a) får du spørre noen som har mer greie på det enn meg. Du kan bruke kalkulatoren det ble linket til her i tråden eller eventuelt en kalkulator med innebygd W-funksjon, eller du kunne være skikkelig kul og summere den uendelige rekka Wikipedia nevner. Tror daofeishi skrev en post om funksjonen for en tid tilbake, så søker du litt står det kanskje noe om det der.