matematikk.net

Heisann. Jeg har et par oppgaver som jeg ikke har fasit til, og derfor slenger jeg dem opp her for å dobbeltsjekke.

Finn summen:

a) [tex]\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{(1+x^2)^2} + ... + \frac{1}{(1+x^2)^n} =[/tex]

b) [tex]1 + \frac{x}{1+x^2} + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + ... + \frac{x^n}{(1+x^2)^n} =[/tex]

c) [tex]\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} + \left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)^2 + ... + \left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)^n =[/tex]


Mine svar:
a) [tex]= \frac{(1+x^2)^{n+1}-1}{x^2(1+x^2)}[/tex]

b) [tex]= \frac{(1+x^2)^{n+1} -x^{n+1}}{(1+x^2)^n(x^2-x+1)}[/tex]

c) [tex]= \frac{(x^2-y^2)\left[(x^2+y^2)^{n+1}-(x^2-y^2)^{n+1}\right]}{2y^2(x^2+y^2)^{n+1}}[/tex]

hvorfor skjekker du ikke selv? bytt ut x med et nummer

a) [tex]\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{(1+x^2)^2} + ... + \frac{1}{(1+x^2)^n} =[/tex]

Prøver meg på a), så får andre svare deg på b) og c)

[tex]s_n = a_1 \cdot \frac{k^n-1}{k-1} = \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n-1}{\frac{1}{1+x^2}-1} = \frac{\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n-1}{1-(1+x^2)} = \frac{\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n-1}{-x^2} =\frac{1- \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n}{x^2} = \frac{(1+x^2)^n - 1}{x^2(1+x^2)^n}[/tex]

...som ikke er helt det samme som du fikk...

a) Enig med ettam.

b)

[tex]\frac{{1 - \frac{{x^{n + 1} }}{{\left( {1 + x^2 } \right)^{n + 1} }}}}{{1 - \frac{x}{{1 + x^2 }}}}[/tex]

c)

[tex]\frac{{x^2 - y^2 }}{{x^2 + y^2 }} \cdot \frac{{1 - \left( {\frac{{x^2 - y^2 }}{{x^2 + y^2 }}} \right)^n }}{{1 - \frac{{x^2 - y^2 }}{{x^2 + y^2 }}}}[/tex]

Gidder ikke forenkle disse, men har sjekket for et par verdier av n og de ser ut til å stemme.