matematikk.net

Vis at det mellom og og et tall x alltid finnes en c slik at sin sin x = x cos c . Bruk dette til å vise at |sin x| [tex]\leq[/tex] |x|

Dette er jo begge ting som jeg tar helt intuitivt, men som jeg ikke har peil på hvordan jeg skal vise formelt. Dette er forresten i kapittelet om middelverdisetningen.

Noen som vil hinte eller hjelpe?

Antar det andre trinnet faller lettere for deg enn det første. (Hva vet vi om |cos c| ?) Når det gjelder selve oppgaven er den mye lettere enn du egentlig tror; er egentlig bare å plugge funksjonen sin(x) direkte inn i middelverdisetningen og velge fornuftige a og b. Kan godt skrive en kortfattet løsning om du vil.

Hm.

Middelverdisetningen:

[tex]f^,(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=[/tex]

Setter inn sinx og 0 (antar det bør være verdiene det er snakk om):

[tex]\frac{sin(x)}{x}=f^,(c)[/tex]

Ordner opp.

[tex]sin(x)=f^,(c)\cdot x[/tex]

Deriverer vi f(x) og setter inn c får vi:

[tex]sin(x)=cos(c)\cdot x[/tex]

Som (oj, oj oj!) var akkurat det jeg skulle vise. Ja, du hadde helt rett. Dette var nesten så enkelt at det var litt flaut. Forøvrig tror jeg det hjelper litt å faktisk *se* på formelen.

Når det gjelder del to er den mye enklere:

Har nå at [tex]sin(x)=cos(c)\cdot x[/tex] Dette kan vi sette inn i ulikheten:

[tex]|cos(c)\cdot x| \leq |x|[/tex]
Vi deler på |x| på begge sider:
[tex]|cos(c)| \leq 1[/tex]

Som nettopp er verdimengden til cos(c): [tex]V_{cos(c)}=[0,1][/tex].

Og der var oppgaven løst.

Men takk for hintet. Hjalp jo veldig.