matematikk.net

∫ 1 / √ (4 - x^2) dx

Trenger hjelp med denne oppgaven, det er noe jeg ikke forstår, læreren min gjorde et eller annet på tavla, men skjønte ikke hvorfor han gjorde det han gjorde. Det jeg ikke forstod var helt i starten da han sa:

substituere slik at x^2 = 4u^2. Altså setter vi x = 2u

Hvorfor gjør vi det? Kan gjerne løse resten av oppgaven også om dere har tid, trenger å studere det her litt.

tmsn wrote:∫ 1 / √ (4 - x^2) dx
Trenger hjelp med denne oppgaven, det er noe jeg ikke forstår, læreren min gjorde et eller annet på tavla, men skjønte ikke hvorfor han gjorde det han gjorde. Det jeg ikke forstod var helt i starten da han sa:
substituere slik at x^2 = 4u^2. Altså setter vi x = 2u
Hvorfor gjør vi det? Kan gjerne løse resten av oppgaven også om dere har tid, trenger å studere det her litt.

den ser bra ut,
u = (x/2) og husk at

[tex]\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}= \arcsin(u) + C[/tex]

skjønner fortsatt ikke, hvordan får vi [symbol:rot] 1 - u ^2 ved å sette u= x/2 ...

Vi er interessert i å få en faktor 4 i begge leddene i rotuttrykket, slik at denne kan faktoriseres bort. Vi kan deretter benytte oss av trigonometrisk substitusjon for å løse integralet.

[tex]4u^2 = x^2 \ \Rightarrow \ 2u = x[/tex]

[tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]2\rm{d}u = \rm{d}x[/tex]

Får:

[tex]\int\frac{1}{\sqrt{4-4u^2}}2\rm{d}u[/tex]

[tex]\int\frac{1}{\sqrt{4}\sqrt{1-u^2}}2\rm{d}u[/tex]

[tex]\int\frac{\rm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}[/tex]

Nå ser du kanskje en trigonometrisk identitet som kan brukes?

Hint: [tex]u = \sin{z}[/tex]

aha.. nå skjønner jeg, takker så meget!