matematikk.net

19. (UiO) Anta at funksjonen f er definert for alle x, og at den tilfredsstiller
[tex]|(fb)-f(a)| \leq K(b-a)^2 \, \, \, \forall \, a,b \in \mathbb{R}[/tex]
der K er en positiv konstant. Vis at f er konstant.

Først tenkte jeg at siden det på forrige side var vist et lemma som sa at hvis [tex]f^,(x)=0 \, \forall x[/tex], så er f en konstant, men så førte ikke den tankerekken fram.

Men så tenkte jeg litt. Hva kjennetegner en konstat funksjon? Jo, alle funksjonsverdiene er like. Derfor må i så fall f(a)-f(b) være lik 0. Og så se jeg på ulikheten: aha!

Derfor blir forklaringen min noe slik som dette:

"Siden K er en konstant, og a og b kan velges vilkårlig, betyr jo dette at a og b også kan velges slik at a=b. (b-a) blir da lik 0, og for at dette skal passe inn i ulikheten, må avstanden mellom b og a også være null. Og dette kjennetegner en konstant funksjon, og ergo må f være konstant."

Er dette godt nok? Jeg føler liksom det spøker litt med den forklaringen egentlig, for den var ikke så veldig teknisk av seg (og dessuten ikke helt i "vis at"-stil)

Hint?

Det du sier er at hvis a=b, er f(a)=f(b), som ikke er til særlig hjelp.

Bruk heller det du nevnte først; hvis du stokker litt på uttrykket og velger a og b smart ser du at du har noe som ligner fælt på definisjonen av den deriverte.

Hm. Har vi lov til å velge a og b til å være hva som helst, også nye variabler; for i så fall kan jeg gjøre følgende:

[tex]|f(b)-f(a)| \leq K(b-a)^2 \, \, \, \forall \, a,b \in \mathbb{R}[/tex]
Velger vi nå [tex]b=x[/tex] og [tex]a=a[/tex] og stokker om:
[tex]\lim_{x\to a}\frac{|f(x)-f(a)|}{x-a}=f^,(a) \leq K(x-a)[/tex]
Og siden [tex]x \to a[/tex], så blir [tex]K(x-a) \to 0[/tex]. For at dette skal gjelde for alle [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] må alltid [tex]f^,(x)=0[/tex], og dette gjør funksjonen konstant.

Går dette an?

Det ligner da på noe. Pass bare på noen ting: Når du deler på x-a, veit du ikke om dette er positivt eller negativt. Det omgår du med absoluttverdien over hele fjøla. Grenseverdien din veit du heller ikke at eksisterer, så det blir feil å si at den går mot |f'(a)| uten først å vise at den faktisk er veldefinert. Du kan løse det sånn:

[tex]\lim_{x\rightarrow a} \left(\frac{|f(x)-f(a)|}{|x-a|}-K|x-a|\right) = \lim_{x\rightarrow a} \frac{|f(x)-f(a)|}{|x-a|}\le0[/tex]

Følgelig er grenseverdien som definerer den deriverte eksisterende og lik 0 i alle punkter, f'(a)=0 for alle a og konklusjonen følger.

Ah. Jeg forstår.

Tusen takk for all hjelp så langt!