matematikk.net

Det er en oppgave som jeg lurer på hvordan skal gjøres. Oppgaven er denne:

Vis generelt at [tex]b[/tex] og [tex]a-\frac{a*b}{|b|^2}b[/tex] er ortogonale

Hva med å sjekke om skalarproduktet mellom vektorene er lik null?

Ja jeg vet at de er ortogonale hvis skalarproduktet er 0, men hvordan finner jeg ut det?

[tex]\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot cos\alpha[/tex]

Slik:

[tex](\vec a-\frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b|^2}\vec b) \cdot \vec b[/tex]

Bruk regneregler for vektorer, så kommer du fram til det du vil vise.

Bruk også at [tex]\vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}[/tex]

Skjønner fortsatt ikke. Det er kun ukjente, hvordan skal jeg klare å finne ut om produktet mellom de er 0.

Vektorregning er vanskelig

[quote="Alfred"]Skjønner fortsatt ikke. Det er kun ukjente, hvordan skal jeg klare å finne ut om produktet mellom de er 0.

Målet må vel være å få en 0 over brøken

Begynn med å gange inn da.

[tex](\vec{a} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b} \cdot \vec{b}[/tex]

Ser du noe du kan forenkle her?

Vektormannen wrote:Begynn med å gange inn da.

[tex](\vec{a} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b} \cdot \vec{b}[/tex]

Ser du noe du kan forenkle her?

[tex]\vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b} \cdot \vec{b}[/tex] =[tex] \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b^2}[/tex]

ser ikke noe mer :S

B^2 er ikke det samme som |B|^2 så kan ikke forenkle det

"B^2 er ikke det samme som |B|^2"
Hvor har du det fra??

Igjen, ved definisjon av prikkprodukt:
[tex]\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{b}||\vec{b}|\cos(0)[/tex]
Hva følger ut av dette?

arildno wrote:"B^2 er ikke det samme som |B|^2"
Hvor har du det fra??

Igjen, ved definisjon av prikkprodukt:
[tex]\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{b}||\vec{b}|\cos(0)[/tex]
Hva følger ut av dette?

Der antar jo du allerede at cosinusen til vinkelen mellom de er 0. Er det ikke dette vi egentlig skal finne ut?

Alfred wrote:

arildno wrote:"B^2 er ikke det samme som |B|^2"
Hvor har du det fra??

Igjen, ved definisjon av prikkprodukt:
[tex]\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{b}||\vec{b}|\cos(0)[/tex]
Hva følger ut av dette?

Der antar jo du allerede at cosinusen til vinkelen mellom de er 0. Er det ikke dette vi egentlig skal finne ut?

nei foresten, tenkte feil. vinkelen mellom to like vektorer er selfølgelig 0.
Da blir det (a*b)-(a*b)=0.

Takk for alle svar

Alfred wrote:Det er en oppgave som jeg lurer på hvordan skal gjøres. Oppgaven er denne:

Vis generelt at [tex]b[/tex] og [tex]a-\frac{a*b}{|b|^2}b[/tex] er ortogonale

[tex]b \cdot a- \frac{a \cdot b}{|b|^2}b = 0 [/tex]

[tex]|b| \cdot |a| \cdot cos \alpha - \frac {|a| \cdot |b| \cdot cos \alpha \cdot b}{|b| \cdot |b|} = 0[/tex]

[tex]|b| \cdot |a| \cdot cos\alpha = \frac {|a| \cdot |b| \cdot cos \alpha \cdot b}{|b| \cdot |b|}[/tex]

[tex]|b| \cdot |b| \cdot |a| \cdot |b| \cdot cos\alpha = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha \cdot b[/tex]

[tex]|b| \cdot |b| = b [/tex]

Hva betyr det ?

Kan trådstarter plis vise hvordan han beviste det ? Ble skikkelig nysjerrig!

[tex]|\vec{b}| \cdot |\vec{b}| = \vec{b}[/tex] betyr at du har gjort noe alvorlig feil. Et tall kan ikke være lik en vektor.

Beviset går slik:

Hvis [tex]\vec{b}[/tex] og [tex](\vec{a} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b})[/tex] er ortogonale er skalarpoduktet deres 0.

[tex](\vec{a} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}^2[/tex]

Siden [tex]\vec{b}^2 = |\vec{b}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos 0^\circ = |\vec{b}| \cdot |\vec{b}| \cdot 1 = |\vec{b}|^2[/tex]:

[tex]\vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}^2 = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\cancel{|\vec{b}|^2}} \cdot \cancel{|\vec{b}|^2} = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0[/tex]

Vi ser at skalarproduktet blir 0, altså stemmer påstanden.