matematikk.net

Jeg skal da finne avstanden mellom[tex] O=(0,0,0)[/tex] og planet [tex]2x+2y+z=5[/tex].

Hvis jeg velger [tex]x[/tex] og [tex]y = 0[/tex] og får [tex]z=5[/tex], har jeg punktet [tex]Q=(0,0,5)[/tex] . [tex]OQ = [0,0,5][/tex].

[tex]\frac{|OQ \cdot n|}{|n|} = \frac{5}{3}[/tex]

Men ettersom jeg kan velge et hvilket som helst punkt i planet, kan jeg velge [tex]Q = (2,1,-1)[/tex] og [tex]OQ = [2,1,-1][/tex]

Da får jeg:


[tex]\frac{|[2,1,-1] \cdot [2,2,1]|}{|n|} = \frac{5}{3}[/tex]

Altså, uansett hva punktet er, så stemmer formelen og jeg får samme avstand. Jeg forstår hvordan formelen

[tex]D= \frac {|PQ \cdot n|}{|n|}[/tex]

er definert/utledet ... men det jeg ikke forstår er liksom hvorfor tar jeg prikkproduktet mellom [tex]n[/tex] og [tex]PQ[/tex] og hvorfor jeg deler på absoluttverdien til[tex] n[/tex]... altså hva betyr det det jeg gjør?
Jeg forstår liksom hvorfor jeg gjør det, ut i fra hvordan jeg kommer fram til formelen, men jeg forstår ikke hva jeg gjør... hjelp

mathme wrote:Jeg skal da finne avstanden mellom[tex] O=(0,0,0)[/tex] og planet [tex]2x+2y+z=5[/tex].

Hvis jeg velger [tex]x[/tex] og [tex]y = 0[/tex] og får [tex]z=5[/tex], har jeg punktet [tex]Q=(0,0,5)[/tex] . [tex]OQ = [0,0,5][/tex].

[tex]\frac{|OQ \cdot n|}{|n|} = \frac{5}{3}[/tex]

Men ettersom jeg kan velge et hvilket som helst punkt i planet, kan jeg velge [tex]Q = (2,1,-1)[/tex] og [tex]OQ = [2,1,-1][/tex]

Da får jeg:


[tex]\frac{|[2,1,-1] \cdot [2,2,1]|}{|n|} = \frac{5}{3}[/tex]

Altså, uansett hva punktet er, så stemmer formelen og jeg får samme avstand. Jeg forstår hvordan formelen

[tex]D= \frac {|PQ \cdot n|}{|n|}[/tex]

er definert/utledet ... men det jeg ikke forstår er liksom hvorfor tar jeg prikkproduktet mellom [tex]n[/tex] og [tex]PQ[/tex] og hvorfor jeg deler på absoluttverdien til[tex] n[/tex]... altså hva betyr det det jeg gjør?
Jeg forstår liksom hvorfor jeg gjør det, ut i fra hvordan jeg kommer fram til formelen, men jeg forstår ikke hva jeg gjør... hjelp

Det du gjør, er å finne vektorens projeksjon langsetter ENHETS-normalen [tex]\vec{n}/n[/tex].
Dette gir deg lengden til vektoren som står ortogonalt på planet, og strekker seg til punktet ditt.

Jeg kan prøve å forklare / utlede formelen. Se på denne flotte illustrasjonen:



R er det punktet i planet som er slik at PR står vinkelrett på planet. Q er et vilkårlig punkt i planet.

Vi har at [tex]\cos \alpha = \frac{PR}{PQ} = \frac{|\vec{PR}|}{|\vec{PQ}|}[/tex].

Siden [tex]\vec{n} || \vec{PR}[/tex] har vi også at [tex]\cos \alpha = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|}[/tex]

Setter vi disse to uttrykkene for [tex]\cos \alpha[/tex] like hverandre får vi at [tex]\frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|\vec{PR}|}{|\vec{PQ}|}[/tex].

Vi får et uttrykk for avstanden, [tex]|\vec{PR}|[/tex], ved å gange med [tex]|\vec{PQ}|[/tex]:

[tex]|\vec{PR}| = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{\cancel{|\vec{PQ}|} \cdot |\vec{n}|} \cdot \cancel{|\vec{PQ}|} = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|}[/tex]

Når normalvektoren har motsatt retning av PQ blir utledelsen nesten helt parallell, men da blir [tex]\cos \alpha[/tex] negativ i den ene likninga, siden vinkelen mellom [tex]\vec{PQ}[/tex] og [tex]\vec{n}[/tex] da blir komplementvinkelen til [tex]\alpha[/tex]. Dette retter vi på ved å ta absoluttverdien av skalarproduktet.

Vektormannen wrote:Jeg kan prøve å forklare / utlede formelen. Se på denne flotte illustrasjonen:



R er det punktet i planet som er slik at PR står vinkelrett på planet. Q er et vilkårlig punkt i planet.

Vi har at [tex]\cos \alpha = \frac{PR}{PQ} = \frac{|\vec{PR}|}{|\vec{PQ}|}[/tex].

Siden [tex]\vec{n} || \vec{PR}[/tex] har vi også at [tex]\cos \alpha = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|}[/tex]

Setter vi disse to uttrykkene for [tex]\cos \alpha[/tex] like hverandre får vi at [tex]\frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|\vec{PR}|}{|\vec{PQ}|}[/tex].

Vi får et uttrykk for avstanden, [tex]|\vec{PR}|[/tex], ved å gange med [tex]|\vec{PQ}|[/tex]:

[tex]|\vec{PR}| = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{\cancel{|\vec{PQ}|} \cdot |\vec{n}|} \cdot \cancel{|\vec{PQ}|} = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|}[/tex]

Når normalvektoren har motsatt retning av PQ blir utledelsen nesten helt parallell, men da blir [tex]\cos \alpha[/tex] negativ i den ene likninga, siden vinkelen mellom [tex]\vec{PQ}[/tex] og [tex]\vec{n}[/tex] da blir komplementvinkelen til [tex]\alpha[/tex]. Dette retter vi på ved å ta absoluttverdien av skalarproduktet.

WOW !!!!!!!!!!!!!!
TUSEN HJERTELIG TAKK VEKTOR!! FANTASTISK! Hvordan skal jeg takke deg egentelig ???

Tusen takk mr.arildno også!

Men en ting jeg lurte på her:

n er paralell med PR selvfølgelig, men hvorfor får vi:

[tex]\cos \alpha = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|}[/tex]

Siden n er parallel med PR burde vi vel få slik :

[tex]\cos \alpha = \frac{|\vec{n}|}{\vec{|PQ|}} [/tex]?

Hvorfor mener du det?

Vektormannen wrote:Hvorfor mener du det?

[tex]\cos \alpha = \frac{hos}{hyp}[/tex]

Vi har, ut i fra illustrasjonen, at [tex]\vec{PR}[/tex] [tex]=[/tex] hosliggende til [tex]\alpha[/tex] og [tex]\vec{PQ}[/tex] er jo hyppen... siden[tex] \vec{PR} || \vec{n}[/tex] så kan vi skrive [tex]\vec{PR}[/tex] som[tex] \vec{n}[/tex] og hyppen er jo fortsatt [tex]\vec{PQ}[/tex]...

den var litt vrien, tenker jeg helt galt nå, altså jeg forstår ikke hvorfor du får denne:

[tex]\cos \alpha = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|}[/tex]

At [tex]\vec{PR}||\vec{n}[/tex] betyr ikke at [tex]\vec{PR} = \vec{n}[/tex]!

[tex]\cos \alpha = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|}[/tex] kommer av definisjonen på skalarproduktet. [tex]\vec{PQ} \cdot \vec{n} = |\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos \alpha[/tex]. Bare å dele på [tex]|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|[/tex] ...

Vektormannen wrote:At [tex]\vec{PR}||\vec{n}[/tex] betyr ikke at [tex]\vec{PR} = \vec{n}[/tex]!

[tex]\cos \alpha = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|}[/tex] kommer av definisjonen på skalarproduktet. [tex]\vec{PQ} \cdot \vec{n} = |\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos \alpha[/tex]. Bare å dele på [tex]|\vec{PQ}| \cdot |\vec{n}|[/tex] ...

Du har helt rett Jeg som surrer... du definerer først [tex]\alpha[/tex] ut i fra cosinus definisjonen, så definerer du [tex]\alpha[/tex] ut i fra skalardefinisjonen. Du setter dem lik hverandre og løser med hensyn til[tex] \vec{PR}[/tex].

Du gjør det på en elegant måte må jeg si! Helt fantastisk.
TAKK[tex]\times 10^{9999999999999999999} ! [/tex]