matematikk.net

Problemet:

Vi har gitt to linjer [tex]l[/tex] og [tex]m[/tex].

[tex]l:[/tex] [tex]x=-2[/tex] og [tex]y=3+4s[/tex] og [tex]z=1-3a[/tex]
[tex]m:[/tex] [tex]x=2-t[/tex] og [tex]y=1+2t[/tex] og [tex]z=t[/tex]

Finn avstanden mellom dem.

retningsvektorene er :
[tex][0,4,-3][/tex] og [tex][-1,2,1][/tex]

Linjene er ikke paralelle. Jeg skal se om de skjærer hverandre:

[tex]-2=2-t[/tex]
[tex]3+4s=1+2t[/tex]

[tex]t= 4[/tex]
[tex]s= \frac{2\cdot4-2}{4} = \frac{3}{2}[/tex]

Jeg sjekker z koordinatene:

[tex]z= 4[/tex]
[tex]z= 1-3\cdot \frac{3}{2}[/tex][tex] = -\frac{7}{2}[/tex]

Det betyr at linjene er vindskeive. Da har jeg to metoder jeg kan finne avstanden mellom linjene på. Jeg kjører på den lette først:

[tex]P = (-2,3,1)[/tex] og [tex]Q = (2,1,0)[/tex] er punkter på linjene.

[tex]\vec{PQ} = [4,-2,-1][/tex]

Kryssproduktet for retningsvektorene blir:
[tex][0,4,-3]\times[-1,2,1] = [10,3,4][/tex]
[tex]|[10,3,4]| = \sqrt{10^2+3^2+4^2} = \sqrt{125}[/tex]

Avstanden blir:

[tex]D = \frac{|[4,-2,-1]\cdot [10,3,4]|}{\sqrt{125}} = 2,68[/tex]

Nå skal jeg prøve å løse denne saken på den andre metoden (uten formel) for å sammenlikne svarene;

[tex]O = (-2,3+4s,1-3s)[/tex]
[tex]P = (2-t,1+2t,t)[/tex]

[tex]\vec{OP} = [2-t+2,1+2t-3-4s,t-1+3s][/tex]

Vi vet jo at[tex] \vec{OP}[/tex] skal stå vinkelrett på begge retningsvektorene til linjene. Da får vi to likninger med to ukjente slik:

[tex][2-t+2,1+2t-3-4s,t-1+3s] \cdot [0,4,-3] = 0[/tex]

[tex]4(1+2t-3-4s)-3(t-1+3s)=0[/tex]

[tex]4+8t-12-16s-3t+3-9s=0[/tex]

[tex]5t-25s = 5[/tex]

Så den andre retningsvektoren:

[tex][2-t+2,1+2t-3-4s,t-1+3s] \cdot [-1,2,1][/tex]

[tex]-1(2-t+2)+2(1+2t-3-4s)+(t-1+3s)=0[/tex]

[tex]-2+t-2+2+4t-6-8s+t-1+3s[/tex]

[tex]6t-5s=9[/tex]

Da får jeg ifølge mr. kalkulator:

[tex]t=1,6[/tex]
[tex]s=0,12[/tex]

Jeg putter denne i:

[tex][2-t+2,1+2t-3-4s,t-1+3s][/tex]

og får denne vektoren:

[tex][2.4,-2.24,0.96][/tex]

og [tex]|[2.4,-2.24,0.96]| = 3,42[/tex]

Verdien jeg fikk i førsteomgang, altså [tex]2,68[/tex] er den som stemmer. Men jeg har gjort denne andre metoden to omtrent fem ganger nå, og jeg kommer frem til samme svar... kan noen se hva jeg gjør feil ?

Tusen hjertelig takk.

Du gjør helt rett frem til du setter inn t- og s-verdiene som gjør at PQ står vinkelrett på begge linjene!

[tex]\vec{PQ} = [2 - (1.6) + 2, 1 + 2(1.6) - 3 - 4(0.12), 1.6 - 1 + 3(0.12)] = [2.4, 0.72, 0.96][/tex]

Lengden av denne blir som du fikk med den første metoden.

Jeg merker meg forresten at du ikke trekker sammen tall når du finner [tex]\vec{PQ}[/tex]. Hvorfor ikke? Det blir jo bare unødvendig lange uttrykk når du skriver f.eks. x-komponenten som [tex]2 - t + 2[/tex] istedet for [tex]4 - t[/tex].

Vektormannen wrote:Du gjør helt rett frem til du setter inn t- og s-verdiene som gjør at PQ står vinkelrett på begge linjene!

[tex]\vec{PQ} = [2 - (1.6) + 2, 1 + 2(1.6) - 3 - 4(0.12), 1.6 - 1 + 3(0.12)] = [2.4, 0.72, 0.96][/tex]

Lengden av denne blir som du fikk med den første metoden.

Jeg merker meg forresten at du ikke trekker sammen tall når du finner [tex]\vec{PQ}[/tex]. Hvorfor ikke? Det blir jo bare unødvendig lange uttrykk når du skriver f.eks. x-komponenten som [tex]2 - t + 2[/tex] istedet for [tex]4 - t[/tex].

Steike, jeg elsker deg!

hahaha Tusen hjertelig takk, vektor, Fantastisk

edit: Helt sant, jeg burde trekke dem sammen der ja! Min feil.