Intensjonen din er dessverre riv ruskende gal. Ikke bare eksisterer en slik funksjon,
alle funksjoner [tex]f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] er kontinuerlige.
Eller, jeg må vel være litt mer spesifikk her. Kontinuitet kommer ikke bare an på funksjonen, men også på topologien i domenet og kodomet. Les mer om den generelle definisjonen
her.
Så en funksjon [tex]f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] er kontinuerlig hvis det inverse bildet av en åpen undermengde av kodomenet, i dette tilfellet [tex]\mathbb{R}[/tex], er åpen i domenet [tex]\mathbb{N}[/tex]. Hvis vi bruker standardtopologien, definert av metrikken [tex]d(x, y) = |x-y|[/tex] for både [tex]\mathbb{R}[/tex] og [tex]\mathbb{N}[/tex], er alle undermengder av [tex]\mathbb{N}[/tex] åpne, og dermed også det inverse bildet av en åpen mengde i [tex]\mathbb{R}[/tex].
For å ta dette med den definisjonen av kontinuitet du kanskje er mest kjent med, [tex]\epsilon - \delta[/tex] definisjonen, får vi, for en vilkårlig funksjon [tex]f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}[/tex]:
La [tex]\epsilon > 0[/tex] og [tex]x \in \mathbb{N}[/tex] være gitt, og la [tex]0<\delta<1[/tex]. Da har vi, for alle punkt [tex]y[/tex] i [tex]\mathbb{N}[/tex] som er slik at [tex]|x-y|<\delta[/tex] (dvs. [tex]y=x[/tex], da differansen mellom to forskjellige naturlige tall er minst [tex]1>\delta[/tex])
[tex]|f(y)-f(x)| = 0 < \epsilon[/tex]
ergo er [tex]f[/tex] kontinuerlig.