matematikk.net

[tex]\sqrt{4-x}=2-\sqrt{x}[/tex]

Likningen skal løses ved regning og svaret skal oppgis eksakt.

Jeg kommer fram til at X=4 eller X=0. Siden jeg kvadrerer under løsingen må jeg sette prøve, men jeg blir litt usikker på konklusjonen etter at jeg har satt prøven...

[tex]x=4[/tex]

[tex]VS=\sqrt{4-4} = \sqrt{0} = 0[/tex]

[tex]HS=2-\sqrt{4} = 2-2[/tex] eller [tex]2+2 = 0[/tex] eller [tex]4[/tex]

[tex]x=0[/tex]

[tex]VS=\sqrt{4-0} = \sqrt{4} = 2[/tex]eller[tex]-2[/tex]

[tex]HS=2-\sqrt{0} = 2-0 = 2[/tex]

I dette tilfellet er det opplagt at HS=4 og VS=-2 er svar som ikke passer i prøven. Men hva er den mest korrekte måten å konkludere det jeg har bevist? Vil det holde å skrive bare f.eks. "X=4 eller X=0 er mulige faktorer av X", og ignorere de svarene som ikke passer, eller burde jeg ta hensyn til de svarene som ikke passer i prøven også, og sette "prøve på prøven"?

Grunnen til at jeg grubler litt over dette (kanskje unødvendig?), er at X=4 kan gi et riktig svar på begge sider, men ikke likt svar på begge sider ved "alle tilfeller"...hvis dere skjønner hva jeg mener. Kan man da virkelig si at X=4?

Roten av fire er to. Når du løser en likning og tar roten av begge sider kan du få [tex]\pm[/tex] roten--dette betyr dog ikke at roten i seg selv er [tex]\pm[/tex].

[tex]x^{2}=4[/tex]
[tex]\sqrt{x^{2}}=\pm{\sqrt{4}}[/tex]
[tex] x=\pm2[/tex]
-------------------------------
[tex]\sqrt{4}=2[/tex]

Så ja, du kan virkelig si at 4 er en løsning fordi det stemmer ved "alle tilfeller".

Peat wrote:X=4 kan gi et riktig svar på begge sider, men ikke likt svar på begge sider ved "alle tilfeller"

Nei vel? Jeg kan putte 0 og 4 inn for x i alle mine mellomregninger. Du har ikke gjort en feil i utregningen?

Dinithion wrote:

Peat wrote:X=4 kan gi et riktig svar på begge sider, men ikke likt svar på begge sider ved "alle tilfeller"

Nei vel? Jeg kan putte 0 og 4 inn for x i alle mine mellomregninger. Du har ikke gjort en feil i utregningen?

Feilen ligger der han/hun sier at HS er enten 2-(+2) eller 2-(-2).

2357 wrote:Roten av fire er to. Når du løser en likning og tar roten av begge sider kan du få [tex]\pm[/tex] roten--dette betyr dog ikke at roten i seg selv er [tex]\pm[/tex].

[tex]x^{2}=4[/tex]
[tex]\sqrt{x^{2}}=\pm{\sqrt{4}}[/tex]
[tex] x=\pm2[/tex]
-------------------------------
[tex]\sqrt{4}=2[/tex]

Så ja, du kan virkelig si at 4 er en løsning fordi det stemmer ved "alle tilfeller".

Jeg mener at [tex]\sqrt{4}[/tex] også kan gi -2. Det kan man vel ikke være uenig om?

Det jeg lurer på, "kort" oppsummert, er veldig pirkete:
Er det er greit å skrive svaret man får på VS i prøven med [tex]\pm[/tex] og ett positivt (eller negativt tall) på HS, og gå ut fra at man "blåser i" det ene svaret på VS ([tex]\pm[/tex]-svaret) som er feil? Eller bør man skrive opp en prøve igjen for å bevise at en av verdiene av [tex]\pm[/tex]-tallet er galt...?

Faktoriser utrykket så slipper du hele problemstillingen.

Peat wrote: Jeg mener at [tex]\sqrt{4}[/tex] også kan gi -2. Det kan man vel ikke være uenig om?

Kvadratroten til et positivt reelt tall er også ett positivt reelt tall. I likninger kan riktignok [tex]-\sqrt{x}[/tex] passe like godt som [tex]\sqrt{x}[/tex] fordi du får samme svar om du kvadrerer begge deler.

2357 wrote:

Peat wrote: Jeg mener at [tex]\sqrt{4}[/tex] også kan gi -2. Det kan man vel ikke være uenig om?

Kvadratroten til et positivt reelt tall er også ett positivt reelt tall. I likninger kan riktignok [tex]-\sqrt{x}[/tex] passe like godt som [tex]\sqrt{x}[/tex] fordi du får samme svar om du kvadrerer begge deler.

OK. Kommer her med et utdrag fra en prøve i en annen oppgave:
Likning: [tex]\sqrt{5-x}=x+1[/tex]

X=-4 eller X=1

Setter inn -4:
[tex]VS=\sqrt{5-(-4)}=\sqrt{9}=\pm{3}[/tex]
[tex]HS=-4+1=-3[/tex]

Vil dette si at svaret er galt, og at X ikke kan være -4?

Her ville jeg brukt abc-likningen for å finne svaret.

Sett x^2+3x-4=0 inn i abc-formelen og regn ut. Her får man ingen problemer av den karakter

Hvordan kommer du fram til [tex]x^2+3x-4=0[/tex]?

Når jeg prøver å få en andregradslikning ender jeg bare opp med [tex]4\sqrt{x}-2x=0[/tex], faktoriserer, finner X=0 (\sqrt{x}=0) og løser førstegradslikningen...

Edit; åja, du mener den andre likningen... Men må jeg ikke sette prøve på løsningene når jeg kvadrerer på begge sidene av likhetstegnet?

Slik jeg forstod 2357 gav roten av et positivt reelt tall et positivt reelt tall... \sqrt{4}=2
Hvis jeg setter prøve på de løsningene jeg får i den andre likningen, hvor man kan bruke abc-formelen, vil det si at -4 ikke er et svar, fordi jeg får VS=3, og HS=-3 ...

Hvis det 2357 sier er rett er jeg jo igrunn kvitt problemet helt av meg selv

Hvis du setter inn ett tall for x, og får ulikt svar på venstre og høyre side, så betyr det at tallet du satt inn for x ikke er en løsning.

Hvis jeg skjønte problemet ditt riktig?

Dinithion wrote:Hvis du setter inn ett tall for x, og får ulikt svar på venstre og høyre side, så betyr det at tallet du satt inn for x ikke er en løsning.

Hvis jeg skjønte problemet ditt riktig?

Korrekt. Men det hjelper ikke på problemet mitt dessverre.

Når jeg taster inn likningen på kalkulatoren gir den meg løsningene 1 og -4. Hvis disse er riktige løsninger, som skal gå opp når man setter opp en prøve, vil det si at [tex]\sqrt{4}=\pm2[/tex] (fra eksemplet til 2357), og at jeg fortsatt er like forvirret.

Kan man mao. i de tilfellene man får to svar på venstre side og ett på høyre bare forholde seg til det svaret på venstre siden som stemmer overens med høyre, og konkludere med at tallet for x er en løsning?

Beklager lange setninger og kanskje noen utydelige formuleringer, men håper du skjønner hva jeg sikter til.

Peat wrote: Kan man mao. i de tilfellene man får to svar på venstre side og ett på høyre bare forholde seg til det svaret på venstre siden som stemmer overens med høyre, og konkludere med at tallet for x er en løsning?

Kom med et eksempel der du mener man får to svar på en av sidene.

Se mitt første innlegg.

Ved x=0 får jeg på venstre side 2 og -2, og bare 2 på høyre side.

[tex]\sqrt{5-x}=x+1[/tex] er en likning av første grad og har antall løsninger deretter. Når du kvadrerer generer du en ekstra løsning fordi du skaper en annengradslikning. Løsningen på stykket ditt er den av løsningene fra andregradslikningen som passer inn i det opprinnelige stykket.

Du har fått løsningene -4 og 1 og du skal nå sette inn dette.

Du finner at -4 gir 3 på en side og -3 på den andre siden--ergo kan vi eksludere denne løsningen.

1 derimot gir 2 på begge sider. 1 gir ikke [tex]\pm2[/tex] på venstre side, liksom -4 ikke gir [tex]\pm3[/tex].

------------------

Over til likninger hvor vi må trekke ut en rot. [tex]x^{2}=9[/tex] har to løsninger. [tex]x=\pm\sqrt{9}[/tex] dette betyr ikke at [tex]\sqrt{9}=\pm3[/tex]. Både -3 og 3 opphøyd i annen gir 9, men roten av 9 vil fremdeles kun være 3. Har du ikke sett abc-formelen kanskje? [tex]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/tex].