matematikk.net

Finn avstanden fra l til hver av koordinataksene.

l:
x=2+t
y=-4
z=4-2t

Et punkt på linja Q = (2,-4,4)

Begynner med zy-planet. Et punkt i zy planet er
P=(0,1,1)

Normalvektoren til zy planet er x-aksen: [1,0,0]

[tex]D = \frac{|(QP \cdot n)|}{|n|}[/tex]

[tex]D = \frac{[2,5,-3]\cdot[1,0,0]}{|[1,0,0]|}[/tex]

[tex]D = \frac{2}{1} = 2[/tex]

Fasiten innholder ikke 2, så jeg forstår ikke hva som går galt her. Dessuten, hva betyr koordinataksene, betyr det planene eller betyr det selve aksen, for eksempel x aksen y aksen osv... isåfall må jeg vel bruke avstanden mellom et punkt og linje, nei, kanskje avstanden mellom to linjer, da må jeg sjekke om de er parallelle eller vindskeive... men jer usikker på hva som menes med koordinataksene her

x-aksen er alle de punkter i rommet der y=z=0
Tilsvarende for de to andre koordinat-aksene.

Linja l kan beskrives som (2+t,-4, 4-2t), mens x-aksen kan beskrives som (x,0,0).

Å minimalisere avstanden mellom disse linjene er et samme som å minimalisere kvadratet av avstanden mellom to vilkårlige punkter på linjene, dvs finne minimum av funksjonen:
[tex]G(x,t)=(2+t-x)^{2}+16+(4-2t)^{2}[/tex]
Da må begge de partielle deriverte være 0:
[tex]\frac{\partial{G}}{\partial{x}}=-2(2+t-x)=0\to{x=2+t}[/tex]
[tex]\frac{\partial{G}}{\partial{t}}=2(2+t-x)-4(4-2t)=0\to{t}=2[/tex]

Altså er t=2 og x=4 når G er minimalisert, G=16, dvs minimum avstand mellom l og x-aksen er 4.



Tilsvarende regning vil gi deg linjas minste avstand til de andre koordinataksene.

arildno wrote:x-aksen er alle de punkter i rommet der y=z=0
Tilsvarende for de to andre koordinat-aksene.

Linja l kan beskrives som (2+t,-4, 4-2t), mens x-aksen kan beskrives som (x,0,0).

Å minimalisere avstanden mellom disse linjene er et samme som å minimalisere kvadratet av avstanden mellom to vilkårlige punkter på linjene, dvs finne minimum av funksjonen:
[tex]G(x,t)=(2+t-x)^{2}+16+(4-2t)^{2}[/tex]
Da må begge de partielle deriverte være 0:
[tex]\frac{\partial{G}}{\partial{x}}=-2(2+t-x)=0\to{x=2+t}[/tex]
[tex]\frac{\partial{G}}{\partial{t}}=2(2+t-x)-4(4-2t)=0\to{t}=2[/tex]

Altså er t=2 og x=4 når G er minimalisert, G=16, dvs minimum avstand mellom l og x-aksen er 4.



Tilsvarende regning vil gi deg linjas minste avstand til de andre koordinataksene.

Absolutt! Jeg forstår ikke hva partielle deriverte betyr, men etter å ha lest det du skrev og prøvd meg i fem og førti minutter kom jeg fram til to måter å løse denne saken på:

For en som liker å bruke formeler (ikke meg) , ville denne metoden:

l : [tex][x,y,z] = [2,-4,4] + t[1,0,-2][/tex]

Dette beskriver linja. Q=(2,-4,4) er et punkt på linja!

Et punkt på x-aksen er (x,0,0) => (1,0,0)

Retningsvektoren for x-aksen er [1,0,0]

Vi kan derfir lage en prameterframstilling for x-aksen:

[tex]x: [x,y,z] = [1,0,0] + s[1,0,0][/tex]

P = (1,0,0) er et punkt på x-aksen. Jeg finner vektoren fra Q på linja til P på x aksen:

[tex]\vec{QP} = [-1,4,-4][/tex]

En vektor som står vinkelrett på både linja og x-aksen ville være kryssproduktet til retningsvektorene til disse to linjene.

[tex]\vec{v} \times \vec{u}[/tex] = [0,-2,0]

Avstanden er absoluttverdien av skalarproduktet mellom kryssproduktet delt på absoluttverdien til kryssproduktet. Altså:


[tex]\frac{|[0,-2,0]\cdot[-1,4,-4]|}{|[0,-2,0]} = \frac{8}{2} = 4[/tex]

Den andre metoden:

Vi kaller linja for et punkt P= (2+t,-4,4-2t) og x-aksen for en punkt Q = (1+s,0,0)

[tex]\vec{PQ} = [s-t-1,4,2t-4][/tex]

Vi vet at denne vektoren har minste avstand når den både står vinkelrett på retningsvektoren til linja og retningsvektoren til x-aksen. Da blir skalarproduktet null.

[tex]\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0[/tex]
[tex]\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0[/tex]

Det gir:

[tex][s-t-1,4,2t-4]\cdot[1,0,-2] = 0[/tex]
[tex][s-t-1,4,2t-4]\cdot[1,0,0}] = 0[/tex]

Dette gir at:

[tex]s=1+t[/tex]

[tex]t= 2[/tex]

[tex]S= 3[/tex]

Nå har jeg de verdiene som gjør at[tex] \vec{PQ}[/tex] står vinkelrett på begge retningsvektorene. Da er det bare å finne absoluttverdien til [tex]\vec{PQ}[/tex]

[tex]|\vec{PQ}| = \sqrt{0^2+4^2+0^2} = 4[/tex]

Glemte å si at jeg sjekket om de var parallele, det var de ikke. De skjærte hverandre ikke i et punkt, og derfor tok jeg utgangspunktet at linja og x-aksen var vindskeive!

Hei, hvordan fikk du v⃗ ×u⃗ = [0,-2,0] ?
Jeg vet hvordan regner man kryssproduktet men hva er verdier for v og for u her?