matematikk.net

Jeg vet at jeg ikke har lov til å gange med x på hver side av et ulikhetstegn. Og jeg vet at man må snu ulikhetstegnet når man multipliserer med et negativt tall. Er det flere regler som er spesielle for ulikheter i forhold til likninger?

Jeg har ulikheten

X^3+27 er større enn, eller lik 0

Jeg ser at tredjerota av 27=3. Har jeg lov til det? Og i så fall, er jeg på feil jorde hvis jeg sier at det blir

X^3+27 er større enn, eller lik 0

(3 [symbol:rot] (X^3+27) er større enn, eller lik 0

X+3 større eller lik 0

X større eller lik -3.

Stemmer det?

Svaret ditt stemmer, men utledningen din blir feil. Tredjeroten av x[sup]3[/sup]+27 er ikke lik x+3 - se bare hva som skjer om du setter x lik 1. I ditt tilfelle må du først flytte over 27 så ulikheten din blir x[sup]3[/sup]>-27 og så ta tredjeroten av begge sider så du står igjen med riktig svar. Hvorfor du kan ta tredjeroten av begge sider skal jeg prøve å forklare deg.

Når man løser ulikheter er hovedregelen at man må tenke seg litt om. Om man har at x[sup]2[/sup]>1, må x>1? Nei, ikke nødvendigvis - et moteksempel er x = -2. Grunnen til at du ikke 'har lov til' å gange med en helt ukjent størrelse som x på begge sider av en ulikhet er at du ikke vet om du skal snu ulikhetstegnet eller ikke - for alt du vet kan x være negativ. (Du kan derimot godt gange med x[sup]2[/sup]. Hvorfor?) Generelt sett kan du godt anvende strengt voksende funksjoner på begge sider av en ulikhet. Du kan opphøye begge sider i e fordi du vet at om a>b er e[sup]a[/sup] > e[sup]b[/sup]. Du kan ta tredjeroten av begge sider fordi tredjerotsfunksjonen er strengt voksende - dvs at om a er større enn b er tredjeroten til a større enn tredjeroten til b. Et eksempel på en funksjon som ikke er strengt voksende er x[sup]2[/sup]. Tegner du grafen ser du at den 'begynner på uendelig' og avtar helt til der x=0 før den vokser tilbake mot uendelig igjen når x går mot uendelig. Det betyr at selv om 1 er mye større enn -2327346 er 1[sup]2[/sup] ikke på langt nær like stort som (-2327346)[sup]2.[/sup]

Mulig dette ble litt for langt, men ja, du kan ta tredjerota på begge sider av en ulikhet. Du kan faktisk gjøre en hvilken som helst funksjon på begge sider av en ulikhet så lenge den er strengt voksende.

Jeg tror jeg har forstått hvordan jeg skal løse den nå.

Jeg kan ikke ta tredjeroten av (X^3+27), men jeg kan derimot ta tredjerota av hvert enkelt ledd?

(3 [symbol:rot] X^3)+(3 [symbol:rot] 27) :st-lik: 0

Og så løse den som en vanlig lineær ulikhet.

Sant?

Fordi man kan ikke ta roten av en negativt uttrykk, så må det vel bli sånn?

Du kan ta roten av et negativt uttrykk, jo. Du kan bare ikke ta kvadratrota, fjerderota, sjetterota osv (hvorfor?). For eksempel er tredjerota av -27 lik -3 - prøv gjerne selv. Det jeg prøvde å poengtere var at [tex]sqrt{a + b}[/tex] ikke er lik [tex]sqrt a + sqrt b[/tex]. Om du vet at [tex]x^3 + 27 > 0[/tex] kan du godt ta tredjerota av begge sider og stå igjen med [tex]sqrt { x^3 + 27} > sqrt{0} = 0[/tex], som forsåvidt er riktig, men du kan ikke uten videre forenkle tredjerota til en sum til summen av tredjerøttene. Du kan derimot først skrive om ulikheten til [tex]x^3 > -27[/tex] og så ta tredjerota på begge sider og stå igjen med det riktige svaret [tex] x > -3[/tex].

Det forklarte en hel del. Tusen, tusen takk!