matematikk.net

I et koordinatsystem er gitt punktene [tex]P(3,-4,2)[/tex] og [tex]Q(-2,6,7)[/tex]. Planet [tex]\alpha[/tex] er gitt ved likningen[tex] 2x-y+z-3=0[/tex].

Bestem de punktene i [tex]\alpha[/tex] som har samme avstand til [tex]P[/tex] som til [tex]Q[/tex] !?


Hjernen min eksploderte, dette ble litt for mye. Noen som tar utfordringen? Håper noen kan gi meg en puff. Vet noen hvordan man starter her ?

Jeg satt R som punktet i [tex]\alpha[/tex], og tenkte [tex]R=(x,y,z)[/tex]. Så tenkte jeg slik:

[tex]\frac{|\vec{PR}\times\vec{n}|}{|\vec{n}|}[/tex] = [tex]\frac{|\vec{QR}\times\vec{n}|}{|\vec{n}|}[/tex]

Er det riktig å tenke slikt ? Jeg kommer hvertfall ikke videre


Fasit:

Punkter på linja:
[tex]x=t[/tex]
[tex]y=1+t[/tex]
[tex]z=4-t[/tex]

Endte opp med å skrive hele løsningen her jeg, så hvis du ønsker å prøve selv.. Slutt å les der du har fattet poenget eller vil prøve deg litt fram!


La (x,y,t) være et slikt punkt. Da skal vi ha at [tex]\sqrt{(3-x)^2 + (-4-y)^2 + (2-z)^2} = \sqrt{(-2-x)^2 + (6-y)^2 + (7-z)^2}[/tex]

Dvs

[tex](3-x)^2 + (4+y)^2 + (2-z)^2 = (2+x)^2 + (6-y)^2 + (7-z)^2[/tex]

Ganger vi ut parentesene her finner vi:

[tex]9 - 6x + x^2 + 16 + 8y + y^2 + 4 - 4z + z^2 = 4 + 4x + x^2 + 36 - 12y + y^2 + 49 - 14z + z^2[/tex]

[tex]9-6x + 16 + 8y - 4z = 4x + 36 -12y + 49 - 14z[/tex]

[tex]25 - 6x + 8y - 4z = 85 - 12y - 14z + 4x[/tex]

[tex]-10x + 20y + 10z = 60[/tex]

[tex]-x + 2y + z = 6[/tex]

Så vet vi at [tex]2x - y + z - 3 = 0[/tex]

Setter inn for z

[tex]-x + 2y + 3 + y - 2x = -3x + 3y + 3 = 6[/tex]

[tex]-x + y = 1[/tex]

Så det er oppfylt for alle punkter der dette holder (som ligger i planet).

Dermed lar vi x = t (vanlig prosedyre, være en fri paramater).

Da får vi følgende løsninger:

[tex]x = t[/tex]
[tex]y = 1+t[/tex]
[tex]z = 3 + y - 2x = 3 + 1 + t - 2t = 4 - t[/tex]

hvor [tex]t\in\mathbb{R}[/tex]

Jeg forstod allt, utenom der du sier at du setter inn for z, kan du forklare litt hva du setter inn for z ?

Jess jess, jeg tok det nå Du bruker samme prosess som likning for ei linja Tusen takk Magnus.