matematikk.net

Hadde en grei bevis oppgave i lekse

To kuler beveger seg rett mot hverandre på et vannrett underlag. Kule A har dobbelt så stor masse som kule B, mens kule B har dobbelt så stor fart som kule A. Bevis at kule B får dobbel så stor fart som kula A, også etter sammenstøtet.

[tex]m_a=2m_b[/tex] og [tex]v_b=2v_a[/tex]

Ut i fra dette får vi også: [tex]m_b=\frac{m_a}{2}[/tex] og [tex] v_a=\frac{v_b}{2}[/tex].

Det første vi gjør for å løse denne er å definere [tex]v_a[/tex] og [tex]u_a[/tex] som negativ. Ettersom kulene kommer fra stikk motsatt retninger.

Formelen for den samlede bevegelsemengden blir da:

[tex]m_a*-v_a+m_b*v_b=m_a*-u_a+m_b*u_b[/tex]

Det første vi tar å gjør er å definere alle [tex]m_b[/tex] som [tex]\frac{m_a}{2}[/tex], og [tex]v_b[/tex] som [tex]2v_a[/tex]

Utgangsfarten til kule B=

[tex]u_b=\frac{m_a*-v_a+\frac{m_a}{2}*(2v_a)-m_a*-u_a}{\frac{m_a}{2}}[/tex]

[tex]u_b=\frac{2(m_a*-v_a+\frac{m_a}{2}*(2v_a)-m_a*-u_a)}{m_a}[/tex]

[tex]u_b=\frac{2(m_a*-v_a)+2(m_a*v_a)-2(m_a*-u_a)}{m_a}[/tex]

[tex]u_b=\frac{-2(m_a*-u_a)}{m_a}[/tex]

[tex]u_b=2u_a[/tex]

Kule B får altså dobbelt så stor fart som kule A etter sammenstøtet.

Ser greit ut dette

Flyttet fra Bevisskolen.

Oppfølgeroppgave: Tenk deg at den ene kulen ligger i ro. Vis at dersom kulene har samme masse og ikke treffer rett på hverandre, vil fartsvektorene til kulene stå vinkelrett på hverandre etter sammenstøtet. Anta selvsagt at kolisjonen er perfekt elastisk. (Dette er nyttig kunnskap for biljardspillere)

(Endret pga vag formulering)

Skal jeg anta at den ene kulen er i ro? Eller at begge går mot hverandre?

Ene er i ro.

Ah, litt upresis formulering der. Anta at ene kula ligger i ro.

Oppfølgeroppgave: Tenk deg at den ene kulen ligger i ro. Vis at dersom kulene har samme masse og ikke treffer rett på hverandre, vil fartsvektorene til kulene stå vinkelrett på hverandre etter sammenstøtet. Anta selvsagt at kolisjonen er perfekt elastisk. (Dette er nyttig kunnskap for biljardspillere)

Ettersom støtet er perfekt elastisk er den kinetiske energien og bevegelsemengden bevart.

[tex]\frac{1}{2}m\vec v_1^2+\frac{1}{2}m\vec v_2^2=\frac{1}{2}m\vec u_1^2+\frac{1}{2}m\vec u_2^2[/tex]

[tex]m_a*\vec v_a+m_b*\vec v_b=m_a*\vec u_a+m_b*\vec u_b[/tex]

Vi setter inn at
[tex]\vec v_2=0[/tex] altså i ro. (Det kunne vært [tex]\vec v_1=0[/tex] for den del.) Så stryker vi bort massen siden massen er lik for begge kulene.

Dette gir: [tex]\vec v_1^2=\vec u_1^2+\vec u_2^2[/tex]

og [tex]\vec v_1=\vec u_1+\vec u_2[/tex]

Videre tenkte jeg at kriteriene for at kulene skal stå vinkel rett på hverandre etter sammenstøtet, da må [tex]\vec u_1*\vec u_2=0[/tex]

Da ble det enkleste å kvadrere ligningen for bevegelsemengde for å få:

[tex]\vec v_1^2=\vec u_1^2+2(\vec u_1*\vec u_2)+\vec u_2^2[/tex]

Vi vet fra før av at [tex]\vec v_1^2=\vec u_1^2+\vec u_2^2[/tex]

Vi setter dette inn og får:

[tex]\vec u_1^2+\vec u_2^2=\vec u_1^2+2(\vec u_1*\vec u_2)+\vec u_2^2[/tex]

[tex]2(\vec u_1*\vec u_2)=0[/tex] Ergo står fartsvektorene vinkelrett på hverandre etter sammenstøtet

Ser fint ut dette

Gjorde det i alle fall på samme måte :p

Flott. Tilbake til endimensjonale spor igjen: Anta nå at den ene kulen er i ro, og at kulene du skyter mot hverandre er festet sammen med en masseløs fjær med fjærkonstant k. Kulene starter en avstand d fra hverandre, og du skyter første kule med hastighet v.

* Finn ut under hvilke forhold kulene kan treffe hverandre.
* Finn et uttrykk for hvor lang tid det tar før kulene treffer hverandre og hvor langt kule nr 2 beveger seg før dette skjer.

* Finn ut under hvilke forhold kulene kan treffe hverandre.

Kulene vil kun kunne treffe hverandre når [tex]E_k>Ep[/tex]

(Fjæren har elastisk potensiel energi)

Holder på å jobbe med punkt 2