matematikk.net

Dette er mitt første forsøk på et matematisk bevis og det hadde vært hyggelig med tilbakemeldinger. Jeg er klar over at dette er grusomt banalt, men jeg har ikke sett etter noen andre og problemstillingen har jeg kommet på selv

Den korteste veien mellom to punkter i vanlig euklidisk geometri er en rett linje. Sett at man skal bevege det fra et punkt (punkt a) til et annet (punkt b) i et koordinatsystem (f.eks fra (0,0) til (10,15)), men man kan bare bevege deg i rette linjer langs x og y-aksen. Hvilken rute er mest effektiv av følgende:

(1) bevege seg slik at man først går langs den ene aksen til man når den første koordinaten, for så å bevege seg langs den andre aksen til man kommer målet, slik at man bare lager en vinkel.

(2) bevege seg uendelig lite langs den ene aksen, for så å bevege seg uendelig langs den andre aksen helt til man kommer til mål, på den måten lager vi flere vinkler. Vi forutsetter at men ikke tar omveier ved å bevege seg fram og tilbake, lengre vekk fra målet, osv.

Lengden l mellom a og b er korteste vei (en rett linje) mellom to punkter beskrives ved hjelp av pytagoras: l = radix(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]).
Lengden c mellom de to punktene ved å bruke rute (1) beskrivees som a = x + y.
lengden d mellom de to punktene ved å bruke rute (2) kan beskrives som summen av den samlede lengden man beveger seg langs x-aksen addert med summen av den samlede lengden man beveger seg langs y-aksen. Altså: d = sum(x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + x[sub]3[/sub] + ...) + sum(y[sub]1[/sub] + y[sub]2[/sub] +y[sub]3[/sub] + ...).

Siden sum(x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + x[sub]3[/sub] + ...) = x og sum(y[sub]1[/sub] + y[sub]2[/sub] +y[sub]3[/sub] + ...) = y, så er begge rutene like lange.

Jeg vet ikke hvor langt du har kommet innen matematikk, men dette beviset er som du sier litt banalt.

Det du gjøre her er jo å starte med å definere x og y, for så å bevise at [tex]x=\lim_{a\to\infty} a\cdot \frac xa[/tex] og [tex]y=\lim_{b\to\infty}\,b\cdot \frac yb[/tex]. Du beviser altså definisjonen av inverser: [tex]\forall z \in \mathbb{C} \, : \, z \cdot z^{-1}=1[/tex] (Alle tall i det komplekse planet har inverser slik at produktet av et tall og dets invers blir 1.)

Du valgte ganske enkelt et litt for egendefinert scenario å bevise. Likevel er det flott øving til mer kompliserte bevis.

Jeg håper jeg ikke høres helt arrogant ut nå.

Jeg er egentlig ikke noe spesielt flink i matematikk, men skulle gjerne ønske jeg var det

Det jeg tenkte på var at stegene i rute (2) ikke nødvendigvis måtte være uendelig små, bare mindre enn x og y. Bakgrunnen var en tanke som slo meg en dag: I Kristiansand sentrum er gatene satt opp i et rutenett, og jeg lurte på hvordan man raskest kunne gå fra den ene enden til den andre på kortest mulig tid. Tok ikke mange sekundene før jeg intuitivt skjønte at summen av brøkdelene av hele lengden er det samme som hele lengden!

Jeg liker forøvrig hvordan du tenker, selv om jeg ikke forstår det helt 100%

espen180 wrote: Det du gjøre her er jo å starte med å definere x og y, for så å bevise at [tex]x=\lim_{a\to\infty} a\cdot \frac xa[/tex] og [tex]y=\lim_{b\to\infty}\,b\cdot \frac yb[/tex]. Du beviser altså definisjonen av inverser: [tex]\forall z \in \mathbb{C} \, : \, z \cdot z^{-1}=1[/tex] (Alle tall i det komplekse planet har inverser slik at produktet av et tall og dets invers blir 1.)

For å være helt ærlig forstår jeg ikke hva dette har med det Pyramide skriver å gjøre, og jeg har prøvd å være veldig forståelsesfull...

Pyramide: Det er veldig bra at du har fundert på slik grunnleggende ting som lengde, det er ganske kreativt og morsomt. Det du har vist er det matematikere kaller for Taxi-cab metrikken. Metrikk = En måte å regne avstander på ved hjelp av bestemte matematiske regler.

Du viste at pytagoras var en måte man kunne regne lengde mellom 2 punkter som er i en rett linje mellom disse punktene (såkalt Euklidske metrikken). Men i by er dette ikke realistisk (derav Taxi-cab). I en by vil det være mer realistisk som du sier å bevege seg enten lodrett eller vannrett. Avnstander blir dermed ikke målt ved hjelp av pytagoras, men den formelen som du har påpekt:

Mellom 2 punkter (A,B) på rutenettet

[tex] d = |x_B - x_A| + |y_B - y_A| [/tex]

Det finnes her mange veier man kan gå fra punkt A til B, men dette endrer selvsagt ikke på lengden d.

Så er mitt spørsmål til deg, hvis du har en 5x5 rutenett, og A og B er på hver sitt mostående hjørne. Hvor mange forskjellige veier kan vi gå, dersom vi starter fra A og vil til B?

lykke til med matte.

garretwa wrote:
Så er mitt spørsmål til deg, hvis du har en 5x5 rutenett, og A og B er på hver sitt mostående hjørne. Hvor mange forskjellige veier kan vi gå, dersom vi starter fra A og vil til B?

lykke til med matte.

Ikke for å blande meg inn i diskusjonen, men svaret på dette spørsmålet er dessverre [tex]\infty[/tex] med mindre du legger noen føringer på
tillatte måter å bevege seg på;) Er ikke dette en tidligere Abel-oppgave forresten?

plutarco wrote:

garretwa wrote:
Så er mitt spørsmål til deg, hvis du har en 5x5 rutenett, og A og B er på hver sitt mostående hjørne. Hvor mange forskjellige veier kan vi gå, dersom vi starter fra A og vil til B?

lykke til med matte.

Ikke for å blande meg inn i diskusjonen, men svaret på dette spørsmålet er dessverre [tex]\infty[/tex] med mindre du legger noen føringer på
tillatte måter å bevege seg på;) Er ikke dette en tidligere Abel-oppgave forresten?

Må vel gå fra øverst venstre til nederst høyre (f.eks), der kun bevegelse mot høyre og nedover er lov.
Når man har blitt så tøff at man klarer den oppgaven kan man jo le av:

http://projecteuler.net/index.php?secti ... lems&id=15

Magnus wrote:

plutarco wrote:

garretwa wrote:
Så er mitt spørsmål til deg, hvis du har en 5x5 rutenett, og A og B er på hver sitt mostående hjørne. Hvor mange forskjellige veier kan vi gå, dersom vi starter fra A og vil til B?

lykke til med matte.

Ikke for å blande meg inn i diskusjonen, men svaret på dette spørsmålet er dessverre [tex]\infty[/tex] med mindre du legger noen føringer på
tillatte måter å bevege seg på;) Er ikke dette en tidligere Abel-oppgave forresten?

Må vel gå fra øverst venstre til nederst høyre (f.eks), der kun bevegelse mot høyre og nedover er lov.
Når man har blitt så tøff at man klarer den oppgaven kan man jo le av:

http://projecteuler.net/index.php?secti ... lems&id=15

Et modifisert problem kan evt. være finne antallet mulige måter å bevege seg fra A til B på når alle retninger er tillatt og antall steg skal være n>=10.

espen180 wrote:Jeg vet ikke hvor langt du har kommet innen matematikk, men dette beviset er som du sier litt banalt.

Det du gjøre her er jo å starte med å definere x og y, for så å bevise at [tex]x=\lim_{a\to\infty} a\cdot \frac xa[/tex] og [tex]y=\lim_{b\to\infty}\,b\cdot \frac yb[/tex]. Du beviser altså definisjonen av inverser: [tex]\forall z \in \mathbb{C} \, : \, z \cdot z^{-1}=1[/tex] (Alle tall i det komplekse planet har inverser slik at produktet av et tall og dets invers blir 1.)

Du valgte ganske enkelt et litt for egendefinert scenario å bevise. Likevel er det flott øving til mer kompliserte bevis.

Jeg håper jeg ikke høres helt arrogant ut nå.

Ikke alle tall i det komplekse plan har en multiplikativ invers: f.eks. z=0.

Ja, glemte visst den der.

espen180 wrote:Ja, glemte visst den der.

Når du først er her kan du jo forklare hva du mener med ditt første innlegg. Jeg forstår ikke bæret.

Magnus wrote:

espen180 wrote:Ja, glemte visst den der.

Når du først er her kan du jo forklare hva du mener med ditt første innlegg. Jeg forstår ikke bæret.

Ikke jeg heller.

Start i punkt A. Hvis vi nå går uendelig lite langs x-aksen og så uendelig lite langs y-aksen, og gjør dette n ganger slik at vi ender i punkt B. Betyr det at lengden av gåturen alltid er [tex]|n\Delta x| + |n\Delta y|[/tex]? Jeg skulle vel tro at vi får en rett linje som grenseverdi når [tex]\Delta x[/tex] og [tex]\Delta y[/tex] går mot 0, eller noe?

Er litt spent på denne jeg også, Espen.

Oi sann, her har det visst skjedd opprør.

Det jeg mente var at beviset over var overflødig, fordi det han gjør er å vise at [tex]\left[a,b\right]=n\left[\frac{a}{n},\frac{b}{n}\right][/tex] uansett [tex]n\neq0[/tex]. Med andre ord en definisjon.

Dere kan jo prøve å vise at taxicab-metrikken faktisk oppfyller kravene til en metrikk: (lett oppgave)

d(x,y) er en metrikk hvis følgende stemmer:

0. d(x,y)>=0 for alle x,y

1. d(x,y)=0 hviss x=y

2. d(x,y)=d(y,x) for alle par x,y

3. d(x,y)<= d(x,z)+d(z,y) for alle x,y,z

Taxicab-metrikken på R^2 er definert for x=(a,b), y=(c,d):

d(x,y)=|c-a|+|d-b|