Datagrafikk
Posted: 15/11-2008 13:05
Mangler fasit på en oppgave. Kan dere sjekke svarene mine?
Jeg bruker notasjonen [tex]P^\prime[/tex] for objektet [tex]P[/tex] prosjektert på skjermen.
Oppgave 1
I 3D datagrafikk er det nødvendig å prosjektere objekter i tre dimensjoner på en todimensjonal skjerm ved å tegne punktet P på stedet der linja fra P til øyet treffer skjermen. Anta at skjermen er yz-planet og at øyets posisjon er [tex]E: (2,0,0)[/tex].
a) I hvilket punkt [tex]Q: (y,z)[/tex] burde man tegne punktet [tex]P: \left(x_0,y_0,z_0\right)[/tex]? (Uttrykk y og z ved koordinatene til P. Anta også at [tex]x_0<2[/tex]. Hvorfor er denne antakelsen legitim?)
Antakelsen er ligitim fordi hvis [tex]x_0\geq 2[/tex], ville ikke punktet bli representert på skjermen.
[tex]E(2,0,0)\,,\,P\left(x_0,y_0,z_0\right) \\ \vec{PE}=\left[2-x_0,y_0,z_0\right] \\ l:[2,0,0]-t\left[x_0-2,y_0,z_0\right]=\left[-tx_0+2(t+1),-ty_0,-tz_0\right] \\ x=0 \Leftrightarrow -tx_0+2t+2=0 \Leftrightarrow t=-\frac{2}{2-x_0} \\ \vec{OQ}=\left[-tx_0+2t+2,-ty_0,-tz_0\right]\,,\,t=-\frac{2}{2-x_0} \\ \vec{OQ}=\left[0,\frac{2y_0}{2-x_0},\frac{2z_0}{2-x_0}\right] \\ \underline{\underline{Q: \left(\frac{2y_0}{2-x_0},\frac{2z_0}{2-x_0}\right)}}[/tex]
b) Hvordan ser et linje stykke i rommet ut på skjermen?
Linjestykket vil se ut som et linje stykke, men ikke nødvendigvis med samme vinkel og lengde som et egentlige linjestykket.
c) Et linjestykke knytter [tex]P_0: (-1,-3,1)[/tex] til [tex]P_1: (-2,4,6)[/tex]. Hva tegnes på skjermen?
[tex]P_0: (-1,-3,1)\,,\,P_1: (-2,4,6) \\ P_0^\prime : \left(-2,\frac23\right)\,,\,P_1^\prime : (2,3)[/tex]
På skjermen tegnes et linjestykke mellom punktene [tex]P_0^\prime : \left(-2,\frac23\right)[/tex] og [tex]P_1^\prime : (2,3)[/tex].
d) En fugl forlater [tex]P_0[/tex] når [tex]t=0[/tex] og flyr i en rett linje med constant fart slik at den passerer gjennom [tex]P_1[/tex] når [tex]t=1[/tex]. Hvordan ser fuglens bane ut på skjermen for [tex]t\geq 0[/tex]? Vis at fuglen flyr mot et "forsvinningspunkt" når t går mot uendelig. Hvilke koordinater har forsvinningspunktet?
[tex]\vec{P_0P_1}=[-1,7,5] \\ l:[-1-t,-3+7t,1+5t] \\ l^\prime : \left[\frac{-6+14t}{3+t}\,,\,\frac{2+10t}{3+t}\right][/tex]
Linja på skjermen er linja [tex]l^\prime : \left[\frac{-6+14t}{3+t}\,,\,\frac{2+10t}{3+t}\right][/tex]
[tex]\lim_{t\to\infty} \frac{-6+14}{3+t}=\lim_{t\to\infty}\frac{14t}{t}=14 \\ \lim_{t\to\infty} \frac{2+10t}{3+t}=\lim_{t\to\infty} \frac{10t}{t}=10[/tex]
"Forsvinningspunktet har koordinatene [tex]F: (14,10)[/tex] (gitt på formen (y,z)).
e) Faktisk er fuglens bane delvis skult av et vertikalt gjerde som er reist foran øyet. Gjerdet ligger i planet [tex]x=1[/tex] og toppen av gjerdet er i høyden [tex]z=1[/tex]. Hvilken del av banen til fulgen er skult av gjerdet? Hint: Legg merke til at punktene som skules av gjerdet er nøyaktig de som ligger under et visst plan som går gjennom [tex]E[/tex].
Denne oppgaven greier jeg ikke. Kan noen gi meg en dytt?
All hjelp mottas med takk.
Jeg bruker notasjonen [tex]P^\prime[/tex] for objektet [tex]P[/tex] prosjektert på skjermen.
Oppgave 1
I 3D datagrafikk er det nødvendig å prosjektere objekter i tre dimensjoner på en todimensjonal skjerm ved å tegne punktet P på stedet der linja fra P til øyet treffer skjermen. Anta at skjermen er yz-planet og at øyets posisjon er [tex]E: (2,0,0)[/tex].
a) I hvilket punkt [tex]Q: (y,z)[/tex] burde man tegne punktet [tex]P: \left(x_0,y_0,z_0\right)[/tex]? (Uttrykk y og z ved koordinatene til P. Anta også at [tex]x_0<2[/tex]. Hvorfor er denne antakelsen legitim?)
Antakelsen er ligitim fordi hvis [tex]x_0\geq 2[/tex], ville ikke punktet bli representert på skjermen.
[tex]E(2,0,0)\,,\,P\left(x_0,y_0,z_0\right) \\ \vec{PE}=\left[2-x_0,y_0,z_0\right] \\ l:[2,0,0]-t\left[x_0-2,y_0,z_0\right]=\left[-tx_0+2(t+1),-ty_0,-tz_0\right] \\ x=0 \Leftrightarrow -tx_0+2t+2=0 \Leftrightarrow t=-\frac{2}{2-x_0} \\ \vec{OQ}=\left[-tx_0+2t+2,-ty_0,-tz_0\right]\,,\,t=-\frac{2}{2-x_0} \\ \vec{OQ}=\left[0,\frac{2y_0}{2-x_0},\frac{2z_0}{2-x_0}\right] \\ \underline{\underline{Q: \left(\frac{2y_0}{2-x_0},\frac{2z_0}{2-x_0}\right)}}[/tex]
b) Hvordan ser et linje stykke i rommet ut på skjermen?
Linjestykket vil se ut som et linje stykke, men ikke nødvendigvis med samme vinkel og lengde som et egentlige linjestykket.
c) Et linjestykke knytter [tex]P_0: (-1,-3,1)[/tex] til [tex]P_1: (-2,4,6)[/tex]. Hva tegnes på skjermen?
[tex]P_0: (-1,-3,1)\,,\,P_1: (-2,4,6) \\ P_0^\prime : \left(-2,\frac23\right)\,,\,P_1^\prime : (2,3)[/tex]
På skjermen tegnes et linjestykke mellom punktene [tex]P_0^\prime : \left(-2,\frac23\right)[/tex] og [tex]P_1^\prime : (2,3)[/tex].
d) En fugl forlater [tex]P_0[/tex] når [tex]t=0[/tex] og flyr i en rett linje med constant fart slik at den passerer gjennom [tex]P_1[/tex] når [tex]t=1[/tex]. Hvordan ser fuglens bane ut på skjermen for [tex]t\geq 0[/tex]? Vis at fuglen flyr mot et "forsvinningspunkt" når t går mot uendelig. Hvilke koordinater har forsvinningspunktet?
[tex]\vec{P_0P_1}=[-1,7,5] \\ l:[-1-t,-3+7t,1+5t] \\ l^\prime : \left[\frac{-6+14t}{3+t}\,,\,\frac{2+10t}{3+t}\right][/tex]
Linja på skjermen er linja [tex]l^\prime : \left[\frac{-6+14t}{3+t}\,,\,\frac{2+10t}{3+t}\right][/tex]
[tex]\lim_{t\to\infty} \frac{-6+14}{3+t}=\lim_{t\to\infty}\frac{14t}{t}=14 \\ \lim_{t\to\infty} \frac{2+10t}{3+t}=\lim_{t\to\infty} \frac{10t}{t}=10[/tex]
"Forsvinningspunktet har koordinatene [tex]F: (14,10)[/tex] (gitt på formen (y,z)).
e) Faktisk er fuglens bane delvis skult av et vertikalt gjerde som er reist foran øyet. Gjerdet ligger i planet [tex]x=1[/tex] og toppen av gjerdet er i høyden [tex]z=1[/tex]. Hvilken del av banen til fulgen er skult av gjerdet? Hint: Legg merke til at punktene som skules av gjerdet er nøyaktig de som ligger under et visst plan som går gjennom [tex]E[/tex].
Denne oppgaven greier jeg ikke. Kan noen gi meg en dytt?
All hjelp mottas med takk.