matematikk.net

Denne oppgaven skulle løses ved induksjon:

Vis at [tex]\forall \, n \in \mathbb{Z}\setminus\left{0\right}[/tex] er
[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \gt 2(\sqrt{n+1}-1)[/tex]

Jeg løser den slik:

Tester for n=1, og det stemmer ([tex]1 \gt 2(\sqrt{2}-1)[/tex]). Jeg deriverer så høyresiden mhp n:
[tex]\frac {d}{dn} 2(\sqrt{n+1}-1) = \frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]

Siden venstresiden øker med [tex]1 \over \sqrt{n}[/tex] for hver n, mens høyresiden øker med [tex]1 \over \sqrt{n+1}[/tex] for hver n, må ulikheten stemme for alle n (også i [tex]A = (1,\infty) \in \mathbb{R}[/tex]. Dette stemmer fordi [tex]\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex] for alle n.

Dermed er påstanden vist.

- - -

Det jeg lurer på, er om dette er svaret oppgaven virkelig ser etter. Begrepet derivasjon er "ennå ikke innført" på dette stadiet i boken, og dette er en oppgave i underkapittelet "Induksjonsbevis" (Tom Lindstrøms Kalkulus, oppg 1.2.8).

Og har jeg løst dette ved induksjon? :P

Det er ikke naturlig å blande derivasjon inn i dette heller. Høyresida er riktignok en funksjon av n, men den er bare definert på noen heltall. Prøv heller å se hva som skjer når du lar n øke med 1.

Du skal nok ikke bruke derivasjon her... skjønner ikke argumentasjonen din heller...
Med induksjon menes at du (i dette tilfellet) starter med n=1 (som du har gjort), og så tar induksjonssteget n-->n+1. Dvs. du antar at påstanden er vist for n, så skal du vise den for n+1. Forresten, n skal vel være et naturlig tall her?

mrcreosote wrote:Det er ikke naturlig å blande derivasjon inn i dette heller. Høyresida er riktignok en funksjon av n, men den er bare definert på noen heltall. Prøv heller å se hva som skjer når du lar n øke med 1.

Ok. Takk for hintet. Tror jeg forstår bedre nå:

Vi vet at det stemmer for n=1.

Vi ser så på økningen på hver side. Øker vi med 1, øker venstresiden med [tex]\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]. Øker vi høyresiden med 1, er differansen (etter litt "massasje") [tex]2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})[/tex]. For at ulikheten skal holde for alle n, må følgende ulikhet gjelde:
[tex] \frac{1}{\sqrt{n+1}} \gt 2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})[/tex]

Ganger vi med n på begge sider, og rydder litt opp, får vi:
[tex]3+2n \gt 2\sqrt{(n+2)(n+1)}[/tex]
osv...
[tex]9 \gt 8[/tex]
Som stemmer, og dermed er induksjonsbeviset fullført.

Bedre?