matematikk.net

En beholder med høyde h lages ved å rotere kurven [tex]y=x^2 \,\,\, 0<=x<=sqrt{h}[/tex] om aksen x=-1 og sette en plan bunn i.

Vis at volumet V av beholderen er
V= [tex]\frac{\pi}{6}(6h+8h^{\frac{3}{2}}+3h^2) [/tex]

Jeg får ikke til denne. Kan skrive ned det jeg tenkte i hvert fall.

Vi må integrere rundt y. Bruker Shell-metoden

[tex]V=\pi\int[/tex](skall høyde)(skall radie) dy

h= [symbol:rot] y

r=y+1

[tex]V=\pi\int y^2+y\,\,dy[/tex] [tex]V=\pi[\frac{1}{3}y^3+\frac{1}{2}y^2][/tex] fra 0 til h. Tenkte at grensen ble h siden høyden til legemet er h og roten av h var grensen for x-aksen men ikke sikker på dette.

[tex]V=\pi[\frac{1}{3}h^3+\frac{1}{2}h^2][/tex]

Jeg lurer på om du dreier kurven om feil akse?
I alle fall får jeg ikke logikken din om hva som er høyde og hva som er radius til å henge sammen.
Kurven y = x[sup]2[/sup] (en vanlig annengradskurve) skal dreies om x = -1, dvs en akse parallell med y-aksen.
Det går an å løse denne med skallmetoden, men siden vi har satt inn en flat bunn (tegn figur!) kan det hende det er enklere å summere sirkelskivene legemet lagvis er satt sammen av.

Forresten: blir ikke formelen for skallmetoden
[tex]V = 2 \pi \int (skallhoyde) (skallradius) dy[/tex]?

Det vil si summen av alle skallenes volum, der et skall har volumet (skallhøyde)*(skallbredde)*(skalltykkelse) = 2 [symbol:pi] (skallhøyde)*(skallradius)*dy

Jeg fikk den til. Siden grafen er summert rundt y-aksen med en diameter som er 2 lengre er radien y+1 for alle sirkelskivene. integrerte ved å bruke formelen for areal av en sirkel ved å bruke et integral som r som du hintet til og fikk

[tex] V= \pi \int(sqrt{y}+1)^2\,\,dy[/tex]

[tex] V= \pi \int(y+2sqrt{y}+1)\,\,dy[/tex] fra 0 til h

Og når jeg integrerer det og setter inn h stemmer det.

Men er det mulig å bruke skallmetoden og. Da bør radien bli [symbol:rot] y + 1. Men hva blir høyden? den er [symbol:rot] y fra 0 til 1 men fra 1 til 2 er den 1. Hvordan lager man et uttrykk for det? Er det jeg gjerne skulle bli flinkere til så det hadde vært en fordel å bli flinkere til å se forskjellige metoder

Jeg gidder ikke tegne noen skisse, så la oss si at beholderen ser slik ut (slik jeg forstår oppgaven):

(_)

Hvor parentesene går som y = x[sup]2[/sup], og bunnen er flat, med omdreiningsaksen x = -1 midt i figuren.

Hvis man insisterer på å løse med skallmetoden må man vel dele opp uttrykket for volumet i to integraler: et uttrykk for skallene i sylinderen i midten (konstant høyde = h), og et utrykk for skallene utenfor sylinderen (med høyde = h - (r-1)[sup]2[/sup])