matematikk.net

Bevis følgende ulikhet for alle naturlige tall n:
[tex]1+\frac12+\frac13+...+\frac1n \gt \ln{(n+1)}[/tex]

Denne oppgaven befinner seg i kapittelet om middelverdisetninger og deriverbare funksjoner - men likevel ber de oss jobbe kun med naturlige tall.

Ihvertfall. Etter å jobbet litt med oppgaven kom jeg frem til at jeg må vise at
[tex]\frac{1}{k+1} \geq \ln{(\frac{1}{k+1}+1)} \, \, \forall k \in \mathbb{N}[/tex]

Dette er ganske lett å vise om vi jobber på [tex]\mathbb{R}[/tex], for da kan jeg vise det vha veksthastighetene til begge størrelsene og startverdi. Men hvordan kan jeg vise det på [tex]\mathbb{N}[/tex]?

Eller mer spesifikt spørsmål? Hvis jeg viser noe på [tex]\mathbb{R}[/tex], gjelder det da også på [tex]\mathbb{N}[/tex]? Det virker naturlig, siden [tex]\mathbb{N} \subset \mathbb{R}[/tex].

Siden du spør så generelt - nei, ikke alt du viser på R vil gjelde på N (og omvendt). R har mange egenskaper som N ikke har (og omvendt). (R er en kropp, for eksempel. N er tellbar.)

Nå går ikke oppgaven din ut på å vise noe på N. Venstresiden er en diskret reell sum, og høyresiden er en reell funksjon. Bruk at venstresiden synker monotont, og sett opp en integralulikhet for summen.

Ah, jeg roter altså litt med begrepene.

Bruk at venstresiden synker monotont, og sett opp en integralulikhet for summen.

Noe av ordbruken der var litt ny for meg. Integralulikhet?

Men takk for oppklaringen!

Hm, merkelig... finner ikke noen god forklaring til deg på nettet, men bildet under illustrerer poenget. Dette er ikke et stringent bevis, men det kan fort gjøres til et.

Summen på venstresida av ulikheten over er arealet av en rekke søyler med høyde 1/n, som illustrert i bildet under (blå søyler). Den kontinuerlige funksjonen 1/x (grønn kurve) har også et veldefinert areal, gitt ved et kjent integral. Kan du sette opp en ulikhet mellom disse arealene?

Tja. Av den figurer ser jeg at
[tex]\int_1^n\frac1xdx =ln(n)\lt \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}[/tex]

På samme måte ser jeg at
[tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i+1} \gt \int_1^n\frac{1}{x+1} dx=ln(n+1)[/tex]

Men nå blir jeg litt flau. (mao. kommer jeg ikke videre )