Geometri

[prasa93]

Hei, har et par oppgaver jeg lurer på:

a) Bilde

Sekskantens diagonaler og sirkelens diameter er 6 m. Regn ut den delen av figuren som ikke er skravert på figuren

b) Bilde

Dette skal forestille et sirkustelt. Finn arealet av teltduken.

Har egentlig ikke så veldig mye peiling på en av dem engang, men i tråd med forumets regler, må man vel si hva man tror, osv...

På a) tror jeg man skal regne ut arealet for hele sirkelen, som i dette tilfellet utarter seg til 28,26 m ved hjelp av denne formelen: pi*r^2. Utover dette har jeg egentlig null peiling.

Når det gjelder b) må man vel finne arealet av sylinderen nederst, dernest kjegla ovenfor. Litt tricky ettersom man ikke skal regne med bunnen, samt "toppen" av sylinder, som i dette tilfellet også er "bunnen" på kjegla. Noen som kan bekrefte / avkrefte, og ved sistnevnte vise utregning?

Hjelp mottas med stor takk!

[meCarnival]

a) på riktig vei.. Regn ut arealet til sirkelen og trekk fra arealet på de skraverte trekantene... Arealet til hele sirkelen er ikke 28,26m, men du bruker riktig formel for areal...

b) regn sylinderen og toppen for seg... Finner ikke areal til en kjegle, men du kan strekke denne utover slik at den blir en større runding...

Vink: på "taket" kan du bruke pytagoras for å få lengden av radiusen til sirkelen du får når du strekker den ut...

[prasa93]

Arealet til hele sirkelen er ikke 28,26m

28,26 m^2, da.

Men hvordan finner man en trekants areal? To av sidene i hver trekant er 3 m, men klarer ikke å komme lenger.

[meCarnival]

Radiusen til sirkelen av taket er jo hypotenusen til trekanten... Ta en titt på gulvet i teltet, der står det vel et tall du kan bruke + høyden så burde du være i nesten i mål...


EDIT:
Beklager... Leste litt fort og trodde r = 6...

Riktig med 28,27 som areal og r = 3

[prasa93]

Ble litt forvirret nå. Er det a) eller b) du snakker om i siste innlegg?

[meCarnival]

b) omhandler jo taket og hypotenusen...

a) omhandler jo arealet du selv fant...

[prasa93]

Nei, jeg har ikke glemt disse oppgavene. Har tatt dem fram et par ganger, men aldri kommet frem til noe svar. Kan noen løse dem og/eller vise hele framgangsmåte? Ville vært utrolig hjelpsomt.

[Realist1]

Sirkusteltet er nok verre enn antatt, dersom man skal ta med taket.

For å ta oppgave a) først.
For å være sikker, det er halvparten (3/6) av sekskanten som er skravert, ikke sant?

Arealet av sirkelen er [tex]\pi r^2 = \pi \cdot (3m)^2 = 28,27 m^2[/tex]
For å finne arealet av sekskanten (antar at det er snakk om en regelrett, likesidet sekskant) så kan vi dele den opp i seks trekanter som alle har et hjørne i sentrum, slik tegningen allerede er. Arealet av sekskanten er altså 6 ganger så stort som hver enkel trekant.

Vi vet at en sekskant består av 720 grader, altså er hvert hjørne i sekskanten 120 grader. Det betyr igjen at hvert hjørne i hver trekant er 60 grader, siden det er to trekanthjørner i hvert sekskanthjørne. Siden hjørnene i trekantene er 60 grader, vet vi at de er likesidete trekanter med sider 3 cm. Vi kan dele hver trekant opp i 2 rettvinklete trekanter med hypotenus 3 cm. Siden det er 30-60-90-trekanter og den minste kateten er halvparten så lang som hypotenusen, altså 1,5 m, har vi alt vi trenger for å finne den lengste kateten (høyden i de likesidete trekantene).
[tex]h = \sqrt{3^2-1,5^2} = 2,60 m[/tex]

Arealet av de tre skraverte trekantene er altså 3 x 2,60 x 1,5 = 11,70 m[sup]2[/sup]
Arealet av sirkelen minus de tre skraverte trekantene er 28,27 - 11,70 = 16,57 m[sup]2[/sup].

Forsto du det? Skal ta for meg sirkusteltet i en ny post.

[Realist1]

Problemet med sirkustaket, er at det ikke er en full sirkel, men kun en del av den. Jo flatere kjeglen er, desto mer av sirkelen er den. Jo spissere den er, desto mindre sirkel får du.

La oss bare ta bunnen først, så er vi ferdig med det. Arealet er jo det samme som arealet av et rektangel, ikke sant? Akkurat som etiketten på en brusflaske. Høyden er oppgitt (5 meter), og bredden er jo det samme som omkretsen av manesjen, altså [tex]2 \pi r = 2 \cdot \pi \cdot 11 m = 69 m[/tex]. Arealet av remsen som går rundt manesjen er altså 5 x 69,115 m = 345,5752 m[sup]2[/sup] (jeg er helt elendig til å avrunde slike ting, så vi får ta det etterpå).

Deretter taket:
Høyden av kjeglen er 6m og radiusen er 11m. Ved hjelp av Pytagoras finner vi altså ut at lengden fra toppen av kjeglen til manesjveggene er [tex]\sqrt{5^2 + 11^2} = 12,083 m[/tex].

Nå vil jeg finne ut hvor lang omkretsen ville vært dersom det virkelig hadde vært en full sirkel. [tex]2 \pi r = 2 \cdot \pi \cdot 12,083m = 75,92 m[/tex].

Vi vet fra i sted at den reelle sirkelen er 69,115 m.
Det er 91,037% av den fulle sirkelen, funnet via formelen:
[tex]x = \frac{69,115 \cdot 100}{75,92}[/tex]
bare at jeg brukte eksaktverdiene:
[tex]\frac{2 \cdot \pi \cdot 11 \cdot 100}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{5^2 \cdot 11^2}} = 91,03664775[/tex]

Arealet av den fulle sirkelen ville vært:
[tex]\pi r^2 = \pi \cdot 12,083^2 = 458,6725 m^2[/tex]
Siden arealet bare er 91% av det, er det 458,6725274 * 0,9103664775 = 417,5600931 m[sup]2[/sup]
funnet vet hjelp av eksaktverdiene:
[tex](\pi \cdot (\sqrt{5^2+11^2})^2) \cdot \left(\frac{2 \cdot \pi \cdot 11 \cdot 100}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{5^2 + 11^2} \cdot 100}\right)[/tex]
som selvfølgelig kan forkortes til:
[tex]\frac{\pi \cdot (\sqrt{5^2+11^2})^2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 11 \cdot 100}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{5^2+11^2} \cdot 100}[/tex]
og her kan jo mye strykes. Vi står faktisk igjen med:
[tex]\pi \cdot 11 \cdot \sqrt{5^2+11^2}[/tex]
Bare for moro skyld forkorter jeg det til [tex]\sqrt{17666} \pi[/tex]
som jo da er 417,56.

Det totale arealet av teltet er altså ca 345,5 + 417,5 = 763 m[sup]2[/sup]. Og hvis dette er feil blir jeg lei meg.

[Realist1]

Synspunkter?

[prasa93]

Beklager, men var ikke online i går, så jeg kan ta det nå.

Oppgave a):

For å være sikker, det er 1/3 av sekskanten som er skravert, ikke sant?

Med fare for å være halvblind, er det ikke 3 av 6 trekanter i sekskanten som er skravert? Dermed blir det jo 3/6 = 1/2 av sekskanten som er skravert, ikke sant?

Resten av innlegget var skrevet meget forståelig, men det er en ting jeg stusser på (kan vel først nevne at jeg fikk riktig på denne oppgaven (fikk den utlevert idag)):

Jeg antok, uten noen helst form for tenking, at trekantene var 30-60-90 grader. Høyden fant jeg på samme måte som deg; 2,6 m (blir vel ikke "i andre" her?) Men siden det bare var en trekants høyde, ganget jeg med grunnlinjen for å finne arealet for én trekant; 2,6 m * 1,5 m = 3,9 m^2.
Tre trekanters areal ble dermed 11,7 m^2, og hele figuren minus tre skraverte trekanter ble som følgende (da jeg fant arealet av hele figuren, brukte jeg 3,14 i stedet for pi, og fikk dermed svaret 28,26, i motsetning til deg, som fikk 28,27)

28,26 m^2 - 11,7 m^2 = 16,56 m^2

Da jeg løste den under prøven, antok jeg at det var et skudd i blinde, og ble overrasket over at jeg fikk full score her. Synes du læreren har vært litt vel snill med meg her?

-

Så over på oppgave b):

Ser du har gjort et svært nummer ut av oppgaven, og jeg tviler på at det var lagt opp slik at vi (tiende) også skulle løse den slik. Men takker likevel for måten du løste den på. Fikk selv ikke overraskende feil på denne oppgaven, da jeg surret og surret og brukte formelen for sylinder + formelen for kjegle, uten noen mening. Kom frem til et fullstendig galt svar. Fasiten sto ikke skrevet på arket, og vi fikk den heller ikke utlevert, men tviler på at det er umulig å oppdrive den i løpet av et par dager. Tviler dog heller ikke på at svaret ditt var galt, men må være en lettere måte å gjøre det på. Men takk likevel!

[Realist1]

Nei, det var veldig fortjent at du fikk full score på a)-oppgaven. Det var jeg som hadde driti meg ut, jeg som brukte formelen A=h istedenfor A=gh/2 for areal av trekant. Haha. Well done.

På sirkusteltet, så er jeg helt enig i at man ikke skal forvente det av tiendeklassinger. Dessverre kommer jeg ikke på noen lettere måter. Kanskje for de som kan det, så er det lettere å integrere og leke seg ved å finne arealet av planet hypotenusen i tverrsnittet av taket danner når det er dreid 360[sup]o[/sup] om en akse. Men det er langt opp i pensum, hvertfall ikke pensum på VGS. Så det skal selvfølgelig ikke en tiendeklassing kunne.

Det er mulig læreren din later som om vi faktisk kan brette kjeglen ut til en sirkel (noe som er feil ), for enkelhets skyld. Det vet jeg ikke. Alt jeg gjorde var bare å bruke Pytagoras for å finne lengden fra toppen til veggen, ned langs taket (hvis du skjønner hva jeg mener? ), og deretter regne ut hvor stor omkretsen ville vært, dersom det faktisk var en hel sirkel. For det er jo som sagt bare ca. 90% av en sirkel. Hvis du bretter ut kjeglen får du altså en sirkel som ligner på en kake der et lite kakestykke er borte (ca. 35[sup]o[/sup]).

Omkretsen fant vi jo enkelt i begynnelsen, og nå har jeg også funnet den "egentlige" omkretsen. Slik fant jeg hvor stor del av en sirkel kjeglen var. Og når jeg har radius kan jeg finne areal. Og deretter fjerner jeg den delen som tilsvarer "kakestykket" som er borte.

Håper det var greiere.

[Realist1]

Og ja, si gjerne i fra når du har fått tak i fasiten. Hadde vært artig å sett. Prøv å snappe opp fremgangsmåten til læreren deres også, slik at man vet om hun avrunder og gjør det enklere eller om hun gjør det nøyaktig, eller hva.

Grunnen til at mange av utregningene mine så så avanserte ut, var bare at jeg brukte eksaktverdier. Det kreves ikke i R1 engang, og langt mindre i tiendeklasse, så ikke bekymre deg for det. Går greit å bruke avrundede desimaltall i tiende.

[prasa93]

Da har sannhetens time omsider ankommet.

Neida. Jeg har ikke funnet selve fasiten, men spurte en kompis som fikk full score på denne oppgaven. Og siden du brukte de såkalte eksaktverdiene blir vel framgangsmåten / svaret litt annerledes, men slik skulle den i utgangspunktet løses:

Areal av sylinderen: (den delen med 2 * pi * r^2 droppes, fordi vi ikke trenger arealet av sylinderens sirkler) pi * 2 * r * h = 3,14 * 2 * 5 * 11 = 345,4 m^2
Overflate av kjegla: (den delen med pi * r^2 droppes fordi vi ikke trenger overflaten av kjeglens sirkel) pi * r * hypotenus = 3,14 * 11 * 12,53 = 432,8 m^2

Hypotenusen ble funnet ved hjelp av Pytagoras; 6^2 * 11^2 = x^2

x ~ 12,53

Figurens totale areal 345,4m^2 + 432,8 m^2 = 778,2 m^2

Som tidligere skrevet, regner jeg med at grunnen til at ditt svar avviker fra mitt, er eksaktverdi-utregningen. Læreren vår er for øvrig meget snill når det gjelder avrunding osv, så vi hadde nok fått en "R" bak svaret selv om svaret avviker litt.

[BMB]

Grunnen til at dere har fått forskjellige svar er at Realist1 har en 5 der han skulle hatt en 6 (men var en fin og kreativ framgangsmåte ).