matematikk.net

Hei..

Jeg og en annen i klassen mener vi har utført differensial likningene rett, men fasit holder ikke en knapp på oss.. Noen som ser feil(a)?

Oppgave #1:

Generell løsning og finne partikulær løsning ved [tex]y(0)=1[/tex]

[tex]y^, = \frac{y^2}{x^2+1}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2+1}[/tex]

[tex]\frac{1}{y^2}dy = \frac{1}{1+x^2}dx[/tex]

[tex]\int\frac{1}{y^2}dy = \int\frac{1}{1+x^2}dx[/tex]

[tex]-\frac{1}{y} = arctan(x) + C[/tex]

[tex]y = -\frac{1}{arctan(x)} + C[/tex]

Herfra skyter vi kun i stanga enn hva vi gjør =/...

Fasit: (som partikulær antar vi...)
[tex]y = \frac{1}{1-arctan(x)}[/tex]

meCarnival wrote: [tex]-\frac{1}{y} = arctan(x) + C[/tex]

[tex]y = -\frac{1}{arctan(x)} + C[/tex]

Her regner du rett og slett feil. Første linja her er rett, men hvordan kom du til linje 2? Hva gjør du med høyresida? Med venstresida?

Ja, tastet litt feil på kalkulatoren...

Blir det noe sånt da:
[tex]-\frac{1}{y} = arctan(x) + C[/tex]

[tex]y = -\frac{1}{arctan(x) + C}[/tex]

[tex]y = \frac{1}{C - arctan(x)}[/tex]

y(0) = 1

[tex]1 = \frac{1}{C - arctan(0)}[/tex]

[tex]1 = \frac{1}{C}[/tex]

[tex]C = 1[/tex]

Partikulær løsning:
[tex]y = \frac{1}{1 - arctan(x)}[/tex]

Antar forrige var riktig, men her har jeg en til:

[tex]y^, = e^{x+y}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y[/tex]

[tex]\frac{1}{e^y} dy = e^x dx[/tex]

[tex]\int\frac{1}{e^y} dy = \int e^x dx[/tex]

[tex]-e^{-y} = e^x + C[/tex]

Hit mener vi det er riktig og usikker herfra men kladdeboka ser slik ut:

[tex]-ln^{e^{-y}} = ln^{e^x + C}[/tex]


[tex]y = ln^{e^x + C}[/tex]
eller blir det
[tex]y = ln^{e^x} + C[/tex]


Noen innspill?



Fasit, når [tex]y(0)=0[/tex]:

[tex]-ln(2-e^x)[/tex]

meCarnival wrote:Antar forrige var riktig, men her har jeg en til:
[tex]y^, = e^{x+y}[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y[/tex]
[tex]\frac{1}{e^y} dy = e^x dx[/tex]
[tex]\int\frac{1}{e^y} dy = \int e^x dx[/tex]
[tex]-e^{-y} = e^x + C[/tex]
Hit mener vi det er riktig og usikker herfra men kladdeboka ser slik ut:
[tex]-ln^{e^{-y}} = ln^{e^x + C}[/tex]
[tex]y = ln^{e^x + C}[/tex]
eller blir det
[tex]y = ln^{e^x} + C[/tex]
Noen innspill?
Fasit, når [tex]y(0)=0[/tex]:
[tex]-ln(2-e^x)[/tex]

[tex]-e^{-y} = e^x + C[/tex]

[tex]e^{-y} = D - e^x [/tex]

[tex]\ln(e^{-y})=\ln(D-e^x)[/tex]

[tex]y=-\ln(D-e^x)[/tex]

osv...

Ja, det var så enkelt ja... Takker for svaret... Presisjon, presisjon