matematikk.net

Løs [tex]\frac{dy}{dx}+x^{-1}y=xy^5[/tex].

(Hint: Bruk substitusjonen [tex]v=y^{-4}[/tex])

Rettelse: Eksponenten til x skal være -1.

Dette blir min første ikke-lineære differensialligning.

[tex]v=y^{-4} \\ \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=-4y^{-5}\frac{dy}{dx} \\ \frac{dy}{dx}+x^2y=xy^5 \Leftrightarrow -\frac14\cdot -4y^{-5}\frac{dy}{dx}+x^2y=x \\ v=y^{-4} \Leftrightarrow y^{-1}=v^{\frac14} \Leftrightarrow y=v^{-\frac14} \\ -\frac14\frac{dv}{dx}+x^2v^{-\frac14}=x \\ \frac{dv}{dx}-4x^2v^{-\frac14}=-4x \\ \frac{dv}{dx}=-4x-4x^2v^{-\frac14}[/tex]

Står fast, så jeg skal se litt mer på den. Er det riktig så langt?

espen180 wrote:Dette blir min første ikke-lineære differensialligning.

[tex]v=y^{-4} \\ \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=-4y^{-5}\frac{dy}{dx} \\ \frac{dy}{dx}+x^2y=xy^5 \Leftrightarrow -\frac14\cdot -4y^{-5}\frac{dy}{dx}+x^2y=x \\ v=y^{-4} \Leftrightarrow y^{-1}=v^{\frac14} \Leftrightarrow y=v^{-\frac14} \\ -\frac14\frac{dv}{dx}+x^2v^{-\frac14}=x \\ \frac{dv}{dx}-4x^2v^{-\frac14}=-4x \\ \frac{dv}{dx}=-4x-4x^2v^{-\frac14}[/tex]

Står fast, så jeg skal se litt mer på den. Er det riktig så langt?

Det var en feil i oppgaven som er rettet opp (se over).

Tror du har en liten regnefeil i tillegg, men godt forsøk så langt! Her er et videre hint:

[tex]\frac{dv}{dx}=-4y^{-5}\frac{dy}{dx}=-4y^{-5}(-x^{-1}y+xy^5)=4x^{-1}v-4x[/tex]

Tror jeg fant regnefeilen. Tar det derfra, I håp om at det blir riktig da.

[tex]v=y^{-4} \\ \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=-4y^{-5}\frac{dy}{dx} \\ \frac{dy}{dx}+x^{-1}y=xy^5 \Leftrightarrow -\frac14\cdot -4y^{-5}\frac{dy}{dx}+x^{-1}y^{-4}=x \\ -\frac14\frac{dv}{dx}+x^{-1}v=x \\ \frac{dv}{dx}-4x^{-1}v=-4x \\ \frac{dv}{dx}=4x^{-1}v-4x[/tex]

Som var hintet ditt. Tar jeg ikke feil, er integrerende faktor en bra fremgangsmåte her.

[tex]\frac{dv}{dx}=4x^{-1}v-4x \\ \frac{dv}{dx}-4x^{-1}v=-4x \\ I.F. = e^{-4\ln\,x}=e^{\ln\,x^{-4}}=x^{-4} \\ x^{-4}\frac{dv}{dx}-4x^{-5}v=-4x^{-3} \\ \frac{d}{dx}\left(x^{-4}v\right)=-4x^{-3} \\ x^{-4}v=2x^{-2} \\ v=2x^{2}[/tex]

Tester svaret:

[tex]\frac{dv}{dx}=4x^{-1}v-4x \\ 4x=4x^{-1}2x^{2}-4x =8x-4x=4x[/tex]

Uttrykket for [tex]v[/tex] stemmer altså. Da må vi sette inn for [tex]y[/tex].

[tex]v=y^{-4} \\ y^{-4}=2x^2 \\ y^4=\frac12x^{-2} \\ y=2^{-\frac14}x^{-\frac12}[/tex]

Tester for y ved å sette in i den opprinnelige ligningen:

[tex]\frac{dy}{dx}+x^{-1}y=xy^5 \\ 2^{\frac34}x^{\frac12}+x^{-1}2^{-\frac14}x^{-\frac12}=x2^{-\frac54}x^{-\frac52} \\ 2^{\frac34}x^{\frac12}+2^{-\frac14}x^{-\frac32}=2^{-\frac54}x^{-\frac32}[/tex]

Uff, nå som det så ut som om det skulle gå opp. Jeg håper jeg ikke gjorde en eller annen feil langt oppe i utregningen nå.

Hvordan ser det ut, plutarco? Ser du feilen?

Løsningen er riktig!

Det er bare en liten feil i derivasjonen av y i nest nederste linje.

Flott!

Det var en artig ligning da. Finnes det flere måter å gjøre den på?