matematikk.net

Hey, her er en oppg jeg ikke får helt til! Noen som har noen tips.

ABC er punktene A(1, 0, 1) B(2, 5, 3) C(3, 4, 4)

Et punkt N ligger på linje gjennom B og C slik at AN står vinkelrett på BC

Finn koordinatene til N.

Tips please!

Finn et uttrykk for [tex]\vec{AN}[/tex] (tenk at [tex]\vec{BN} = k \cdot \vec{BC}[/tex].) Hva vil det si for vektorene [tex]\vec{AN}[/tex] og [tex]\vec{BC}[/tex] at AN står vinkelrett på BC?

Jeg kan ikke noe som helst om vektorer i rommet, og nesten ikke vanlige vektorer en gang, men jeg prøver likevel. Dette er mest sannsynlig helt på trynet feil.

Først finner jeg [tex]\vec{BC}[/tex]:

[tex]\vec{BC} = [3, 4, 4]-[2, 5, 3] = [3-2, 4-5, 4-3] = [1, -1, 1] [/tex]

Og så [tex]\vec{AN}[/tex] og jeg kan bytte ut y og z pga. vektoren er parallell med vektor BC.

[tex]\vec{AN} = [x, y, z]-[1, 0, 1] = [x-1, y, z-1] = [x-1, -x, x-1][/tex]

Og skalarproduktet 0, og jeg kan regne ut.

[tex][x-1, -x, x-1]\cdot [1, -1, 1] = 0 \Leftrightarrow x-1+x+x-1 = 0 \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}[/tex]

Og nå kan jeg finne vektor AN og punktet N.

[tex]\vec{AN} = [\frac{-1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}][/tex]

[tex]N = A(1, 0, 1)+[\frac{-1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}] = (\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})[/tex]

Det tror jeg blir feil. Jeg får [tex]N = (\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{5}{3})[/tex]. Kan være det er jeg som slurver her da. Men hva mener du med at du kan "bytte ut y og z pga. vektoren er parallell med vektor BC"?

edit: mente sjølsagt N, ikke A...

Tanken var at hvis [x, y, z] er parallell med [1, -1, 1] så er [x, y, z] det samme som [x, -x, x]

Hm, hvordan kan vektoren fra origo til N (det er vel det [x,y,z] er?) være parallell med vektor BC?

Nei, en vektor har ikke noe startpunkt.

Uansett så jeg en ganske åpenbar feil i utregningen nå. Blandet vektor BC med en annen vektor, som har ledet til mye annet tull.

Såklart har den ikke et startpunkt, men med "vektoren fra origo til N" mener jeg en beskrivelse av vektoren da -- parallell og like lang som linjestykket fra origo til N.

(En liten og kanskje litt unødvendig sidenotis: vektorer og punkter kan ikke summeres osv. (de er ikke av samme "klasse"/"datatype" for å bruke programmeringssjargong :p). For å angi et punkt som en vektor bruker man en posisjonsvektor som beskriver avstanden fra origo til punktet. I denne oppgava har vi f.eks. at [tex]\vec{OA} = [1,0,1][/tex] er posisjonsvektoren til punktet A. Å blande punkt og vektorer liker i alle fall ikke min lærer ...)

Har aldri vært en kløpper på notasjon, men nå vet jeg hvordan det skrives.

(...og nå kan vi overlate resten til trådstarter.)

1. [AN]*[BC]=0
2. [BN]=k[BC]
Først finner vi utrykk for den første ligningen.
[x-1,y,z-1]*[1,-1,1]=0
(x-1)-y+(z-1)=0
Så hopper vi til den andre.
som er:
[x-2,y-5,z-3]=k[1,-1,1]
Dette gir ligningene
x-2=k y-5=-k z-3=k
Du bruker disse ligningen til å erstatte x,y og z i den ligning nr.1. Og får k=2/3. Denne verdien bruker du til å løse for x,y og z i ligning nr.2 og får:
x=8/3 y=13/3 z=11/3

Sorry for sent svar