Kvadrater av rasjonale tall

[mrcreosote]

Fins det noen positive rasjonale tall b som er sånn at de 2 talla [tex]b\pm\frac1b[/tex] begge er kvadrater av rasjonale tall?

[Gustav]

Edit: Oppdaga at jeg hadde regnet feil

[Zivert]

Ja... Jeg kom fram til noe av det samme:
Anta at det finnes et slikt rasjonalt tall b:
La [tex]b=\frac{p}{q}[/tex] der [tex]\gcd(p,q)=1[/tex]
Da har vi:
1) [tex]\,\, \frac{p}{q}+\frac{q}{p}=\frac{p^2+q^2}{pq}=\frac{m_1^2}{m_1^2}[/tex]
2) [tex]\,\, \frac{p}{q}-\frac{q}{p}=\frac{p^2-q^2}{pq}=\frac{n_1^2}{n_1^2}[/tex]
(Her er [tex]m_1,m_2,n_1,n_2 \in \mathbb{N}[/tex] og[tex] \gcd(m_1,m_2)=1 \,\,\, \gcd(n_1,n_2)=1 [/tex])

Fordi [tex]\gcd(p^2+q^2, pq)=1[/tex] og [tex]\gcd(p^2-q^2, pq)=1[/tex] har vi at [tex]\,p^2+q^2=m_1^2 \,[/tex], [tex]\,p^2-q^2=n_1^2 \,[/tex] og [tex]\, m_2^2=pq=n_2^2[/tex].
Fordi pq er et kvadrat og p og q er relativt primiske må da både p og q være kvadrattall.
[tex]p=p_1^2[/tex]
[tex]q=q_1^2[/tex]

Så for at det skal eksistere et slikt tall, b, som vi er ute etter, må det finnes heltall [tex]p_1[/tex],[tex]q_1[/tex],[tex]m_1 [/tex] og [tex]m_2 [/tex] slik at likningene:

I) [tex]\,\, p_1^4+q_1^4=m_1^2[/tex]
II) [tex]\,\, p_1^4-q_1^4=n_1^2[/tex]

Mener at slike heltall ikke eksistere, men har problemer med å bevise det...

Edit: Ser løsningen på mathplanet, jeg jobbet i samme retning, men kom ikke helt i mål. Takk for linken!