matematikk.net

Mattelæreren min sier at det er noe galt med dette beviset, og at det ikke holder rent matematisk. Hva mener dere?

Bevis: Grenseverdien til e vha. [tex]\frac{d}{dx}e^x=e^x[/tex].

[tex]e^x=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h\to 0}e^x\frac{e^h-1}{h} \\ 1=\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h} \\ \lim_{h\to 0}h=\lim_{h\to 0}e^h-1 \\ \lim_{h\to 0}e^h=\lim_{h\to 0}h+1 \\ e=\lim_{h\to 0}\left(1+h\right)^{\frac 1h}=\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac 1h\right)^h[/tex]

Han sier at jeg foretar noen grove forutsetningen i linjene 3-5 som gjør at beviset ikke holder rent matematisk, og at man egentlig ikke kan gjøre det jeg gjør der.


Ser dere noe galt?

Takk for all hjelp.

Du sier du har at [tex]\lim_{h \to 0} h = \lim_{h \to 0}=e^h-1[/tex]

Men det er for eksempel også sant at [tex]\lim_{h \to 0} 2h = \lim_{h \to 0}=e^h-1[/tex] fordi begge grenseverdiene er [tex]0[/tex]. Dette fører til (ved å bruke dine utregninger) at [tex]e= \lim_{h \to 0} (1+2h)^{\frac{1}{h}}[/tex] som ikke er riktig. Da er det noe som ikke stemmer et sted. Feilene ligger i linje 3, 5 og 6.

Jeg antar at det er samme type feil/antakelse som gjør at jeg ikke har lov til å gjøre dette:

[tex]\lim_{h \to 0} h = \lim_{h \to 0} \ln(h + 1)[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0}e^h = \lim_{h \to 0} h + 1[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0} e^h - 1 = \lim_{h \to 0} h[/tex] (<--- der var den, ja)

[tex]\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1[/tex]

Jarle10 wrote:Du sier du har at [tex]\lim_{h \to 0} h = \lim_{h \to 0}=e^h-1[/tex]

Men det er for eksempel også sant at [tex]\lim_{h \to 0} 2h = \lim_{h \to 0}=e^h-1[/tex] fordi begge grenseverdiene er [tex]0[/tex]. Dette fører til (ved å bruke dine utregninger) at [tex]e= \lim_{h \to 0} (1+2h)^{\frac{1}{h}}[/tex] som ikke er riktig. Da er det noe som ikke stemmer et sted. Feilene ligger i linje 3, 5 og 6.

Ja, jeg skjønner, men er det egentlig relevant i dette beviset? Hvis jeg skulle ha bruke 2h, måtte jeg jo ha +h på den andre siden av likhetstenget også, siden jeg tar utgangspunkt i definisjonen på den deriverte?

Poenget er at verdiene er like og det er derfor ikke noen grunn til å foretrekke den ene framfor den andre.

Man må bruke den formelle epsilon-delta- definisjonen av grenser for å gjøre beviset formelt riktig, trur jeg. På den måten etterlates ingen tvil som illustrert over av jarle10 i forhold til definisjonen av e.

espen180 wrote:Mattelæreren min sier at det er noe galt med dette beviset, og at det ikke holder rent matematisk. Hva mener dere?

Bevis: Grenseverdien til e vha. [tex]\frac{d}{dx}e^x=e^x[/tex].

[tex]e^x=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h\to 0}e^x\frac{e^h-1}{h} \\ 1=\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h} \\ \lim_{h\to 0}h=\lim_{h\to 0}e^h-1 \\ \lim_{h\to 0}e^h=\lim_{h\to 0}h+1 \\ e=\lim_{h\to 0}\left(1+h\right)^{\frac 1h}=\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac 1h\right)^h[/tex]

Han sier at jeg foretar noen grove forutsetningen i linjene 3-5 som gjør at beviset ikke holder rent matematisk, og at man egentlig ikke kan gjøre det jeg gjør der.


Ser dere noe galt?

Takk for all hjelp.

Den er egentlig ikke noe feil før du mener at

[tex]\lim_{h\to 0} e^h = \lim_{h\to 0} h+ 1 \Rightarrow e = \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}[/tex]

Hvordan kan du forklare denne implikasjonen? Man trenger ikke tenke langt for å komme på tilfeller der dette ikke gir et meningsfylt resultat.

Du går fra å se på likhet mellom to reelle verdier (grenseverdiene) til å mene at det er likhet mellom funksjonene.

Og til spørsmålet ditt om det har noe å si her. Vel - det du gjør er ikke gyldig argumentasjon, så selv om du tilfeldigvis får ut "det riktige svaret", så er beviset ditt galt.

[tex]e^x = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \\ 1 = \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \\ \lim_{h\to 0} h+1 = \lim_{h\to 0} e^h \\ e = \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}[/tex]

Bør ikke denne holde?

FredrikM wrote:[tex]e^x = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \\ 1 = \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \\ \lim_{h\to 0} h+1 = \lim_{h\to 0} e^h \\ e = \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}[/tex]

Bør ikke denne holde?

Nei, som plutarco nevner må du føre epsilon delta bevis på denne her, for du gjør ulovlige operasjoner.

Er det dette punktet som ikke holder:
[tex]\lim_{h \to 0}h+1 = \lim_{h \to 0} e^h[/tex]

?

Les mitt innlegg.

FredrikM wrote:Er det dette punktet som ikke holder:
[tex]\lim_{h \to 0}h+1 = \lim_{h \to 0} e^h[/tex]

?

Det punktet sier at 1=1, så det er sant. Det følger også nesten av de foregående linjene. Det vil være sant om begge grenseverdiene eksisterer. Problemet er at neste linje ikke følger av dette. At grenseverdiene til to funksjoner er like, forteller svært lite om funksjonene, og du kan ikke anvende samme operasjon på begge funksjonene og generelt bevare likhet. En grenseverdi er bare ett tall. Husk det. Likhet mellom to grenseverdier er bare likhet mellom to tall.

Kan jo kjapt komme med et moteksempel:

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} h = \lim_{h\rightarrow 0} 2h[/tex]
høyre- og venstresiden av likhetstegnet er begge lik null, og derfor like.
Kansellerer [tex]h[/tex] på begge sider av likhetstegnet, og sitter igjen med
[tex]1=2[/tex]
som ikke stemmer.

Det er noe tilsvarende du har gjort.

PS. (kanskje ikke så veldig meningsfylt for folk på vgs, skal se om jeg gidder forklare nærmere i morgen)
For enkelte operasjoner går det faktisk bra. Hvis
[tex]\lim_{x\to a} f(x) = L =\lim_{x\to a} g(x)[/tex]
og
[tex]F(x, y)[/tex] er kontinuerlig rundt [tex](a, L)[/tex]
så er
[tex]\lim_{x\to a} F(x, f(x)) = F(a, L) = \lim_{x\to a} F(x, g(x))[/tex]

Da [tex]F(x, y)[/tex] må gå mot [tex]F(a,L)[/tex] for alle veier mot [tex](a, L)[/tex]

Fin forklaring, Bogfjellmo. Skjønner nå hvorfor beviset ikke holder.

Takk for hjelpen alle sammen.