matematikk.net

Denne fikk jeg på 3mx eksamen, fritt etter hukommelsen:

En uendelig konvergent geometrisk rekke er slik at summen av det første leddet a1 og det tredje leddet a3 er lik produktet av det første leddet a1 og det andre leddet a2.

Bestem det første leddet a1 og rekkas kvotient k slik at rekkas sum S blir minst mulig.

For øvrig er
a2 = a1*k
a3 = a2*k
osv

S = a1 + a2 + a3 +...+ a*n

Noen som kan en fremgangsmåte for å løse denne?

Eg nyttar din notasjon med endringane Sn = a1 + ... + an og S = a1 + a2 + ... (i det uendelege). Me observerer først at

a1 + (a1*k^2) = a1 * (a1*k) gjev k^2 + 1 = a1*k, dvs. a1 = k + 1/k (k kan ikkje vera 0, som du lett kan verifisera).

For at rekkja skal vera konvergent, så må -1 < k < 1. Me finn S:

Sn = a1 + a2 + ... an og Sn*k = a2 + ... + a(n+1) gjev
Sn = [a(n+1) - a1]/(k - 1). Sidan a(n+1) = a1*k^n har me altså
Sn = a1*(k^n - 1)/(k - 1) = (k + 1)(k^n - 1)/k(k-1).
Då er S = (k + 1)/k(1 - k) = a1/(1 - k).

La f(x) = (x + 1)/x(1 - x). Me observerer først at f(x) har same forteikn som x, så eit eventuelt minimum ville vera i intervallet -1 < x < 0. Når x går mot 0 går f(x) mot minus uendeleg, så noko slikt minimum finst ikkje. Med andre ord: S kan verta så lågt som me vil, ved å la k vera så nære 0 som råd er, nedanfrå. (f(x) går mot -1/0).