matematikk.net

Tid: 2 skoletimer
Hjelpemidler: Lærebok og kalkulator (notater eller andre ark er ikke tillatt).
I alle oppgavene må du vise utregningene for å få full uttelling.

Oppgave 1
La [tex]\vec a[/tex] og [tex]\vec b[/tex] være to vektorer slik at [tex]\left|\vec a\right|=6[/tex] og [tex]\left|\vec b\right| = 3[/tex].
a) Finn [tex]\vec a \cdot \vec b[/tex] når vinkelen mellom vektorene er 135[sup]o[/sup].

b) Finn vinkelen mellom vektorene [tex]\vec a[/tex] og [tex]\vec b[/tex] når skalarproduktet [tex]\vec a \cdot \vec b = 9[/tex].

Oppgave 2
I [tex]\Delta ABC[/tex] har hjørnene koordinatene [tex]A(2, -1)[/tex], [tex]B(4, 1)[/tex] og [tex]C(3, 2)[/tex].
a) Finn [tex]\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{AC}[/tex] ved regning.

b) Regn ut lengdene [tex]\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{AC}[/tex].

c) Regn ut [tex]\angle A[/tex] i trekanten.

d) Finn ved regning koordinatene til midtpunktet på siden [tex]AC[/tex].

e) Et punkt [tex]D(1, y)[/tex] har avstanden [tex]\sqrt{2}[/tex] fra punktet [tex]A[/tex]. Finn [tex]y[/tex].

Oppgave 3
a) Vi har gitt vektorene [tex]\vec a = \left[6, -15\right][/tex] og [tex]\vec b = \left[-2, 5\right][/tex]. Vis at vektorene er parallelle.

b) I [tex]\Delta ABC[/tex] setter vi [tex]\vec a = \vec{AB}[/tex] og [tex]\vec b = \vec{AC}[/tex]. La [tex]M[/tex] være midtpunktet på [tex]AC[/tex]. Punktet [tex]D[/tex] ligger på [tex]AB[/tex] og deler linjestykket [tex]AB[/tex] i forholdet [tex]2:3[/tex].
Punktet [tex]E[/tex] er bestemt ved at [tex]\vec{AE} = \vec a - \frac34\vec b[/tex].
(1)
Tegn en trekant [tex]ABC[/tex] og plasser punktene [tex]M[/tex], [tex]D[/tex] og [tex]E[/tex].
(2)
Vis ved vektorregning at punktene [tex]M[/tex], [tex]D[/tex] og [tex]E[/tex] ligger på linje.

Oppgave 4
Gitt punktene [tex]A(-1, 1)[/tex], [tex]B(3, -2)[/tex] og [tex]C(6, 2)[/tex].
a) Vis at [tex]\vec{AB} \perp \vec{BC}[/tex].

b) Finn ved regning koordinatene til et punkt [tex]D[/tex] slik at firkanten [tex]ABCD[/tex] blir et kvadrat.

c) Vis at diagonalene i kvadratet står vinkelrett på hverandre.

d) Linjen mellom [tex]A[/tex] og [tex]C[/tex] krysser [tex]y[/tex]-aksen i punktet [tex]E[/tex]. Finn koordinatene til punktet [tex]E[/tex] ved regning.

Oppgave 5
La vektorene [tex]\vec a[/tex] og [tex]\vec b[/tex] være slik at [tex]\left|\vec a\right|=2[/tex] og [tex]\left|\vec b\right|=3[/tex]. Vinkelen mellom vektorene er 120[sup]o[/sup]. Videre er [tex]\vec u = \vec a - \vec b[/tex] og [tex]\vec v = 2\vec a + \vec b[/tex].

a) Finn [tex]\vec a \cdot \vec b[/tex], [tex]\vec a^2[/tex] og [tex]\vec b^2[/tex].

b) Finn [tex]\vec u \cdot \vec v[/tex].

c) Finn [tex]\left|\vec u\right|[/tex] og [tex]\left|\vec v\right|[/tex].

d) Finn vinkelen mellom [tex]\vec u[/tex] og [tex]\vec v[/tex].

Tror jeg greide alt, men den siste var litt stress.

Er 72,2 grader det riktige svaret på 5d?

Det er mulig. På prøven fikk jeg 88,8 grader, men det var skummelt nære 90 grader synes jeg. Utregning?

Hvordan gjorde du 4d forresten? Garantert en lett oppgave, tror de fleste gjorde den, men jeg var blokkert. Skrev svaret [tex]E\left(0,\frac87\right)[/tex] men viste ingen utregning.

Det stemmer, og du kan f.eks. kalle E for (0, y) som gir AE = [1, y-1]. Deretter bruker du bare at AE og AC er parallelle til å finne y.

Når det gjelder 5d så får jeg 82.6 grader.

edit: rekna det ut på nytt, ser ut som det stemmer med geogebra også.

Jeg laget en parameterfremstilling for linjen og fant krysningspunktet med y-aksen. Det lærer du i kapittel 8 av Sinus-boken. Svaret er: [tex]E(-8, 0)[/tex]

Oppgave 5 blir litt vanskeligere å forklare.

På a fikk jeg [tex]\vec a \cdot \vec b = -3[/tex] og [tex]\vec a^2 = 4[/tex] og [tex]\vec b^2 = 9[/tex]

På b får jeg at [tex]\vec u \cdot \vec v = 2[/tex]

På c får jeg at [tex]|\vec u| = \sqrt 7[/tex] og at [tex]|\vec v| = \sqrt {37}[/tex]

På d tegner jeg opp vektorene med "halemetoden" og bruker geometri og cosinussetningen til å finne lengden på [tex]\vec u[/tex] og [tex]\vec v[/tex]

Hvor lang får dere samme svar?

På d) kan du vel bare bruke at [tex]\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\right)[/tex]. Jeg får forresten [tex]\sqrt{19}[/tex] og [tex]\sqrt{13}[/tex] som lenger på henholdsvis [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex] ved å bruke at [tex]|\vec{x}|^2 = \vec{x}^2[/tex].

Vektormannen har nok riktig. Jeg tegnet i GeoGebra og kom fram til 82.7 grader.

Jeg brukte:

[tex]\vec a = [2,\,\,0][/tex] og [tex]\vec b = [-\frac{3}{2}, \,\,\frac{3}{2}\sqrt 3][/tex]

Og fant ut:

[tex]\vec a \cdot \vec b = -3[/tex]

[tex]\vec a^2 = 4[/tex] og [tex]\vec b^2 = 9[/tex]

[tex]\vec u \cdot \vec v = 2[/tex]

[tex]|\vec u| = \sqrt{19}[/tex] og [tex]|\vec v| = \sqrt{13}[/tex]

Gommle wrote:Svaret er: [tex]E(-8, 0)[/tex]

?

Realist1 wrote:Oppgave 5
La vektorene [tex]\vec a[/tex] og [tex]\vec b[/tex] være slik at [tex]\left|\vec a\right|=2[/tex] og [tex]\left|\vec b\right|=3[/tex]. Vinkelen mellom vektorene er 120[sup]o[/sup]. Videre er [tex]\vec u = \vec a - \vec b[/tex] og [tex]\vec v = 2\vec a + \vec b[/tex].

a) Finn [tex]\vec a \cdot \vec b[/tex], [tex]\vec a^2[/tex] og [tex]\vec b^2[/tex].

b) Finn [tex]\vec u \cdot \vec v[/tex].

c) Finn [tex]\left|\vec u\right|[/tex] og [tex]\left|\vec v\right|[/tex].

d) Finn vinkelen mellom [tex]\vec u[/tex] og [tex]\vec v[/tex].

a)
[tex]\vec a \cdot \vec b = \left|\vec a\right| \cdot \left|\vec b\right| \cdot \cos{120} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{-1}{2} = \underline{\underline{-3}}[/tex]
[tex] \vec a^2 = \left|\vec a\right|^2 = 2^2 = \underline{\underline{4}}[/tex]
[tex]\vec b^2 = \left|\vec b\right|^2 = 3^2 = \underline{\underline{9}}[/tex]

b)
[tex]\vec u \cdot \vec b = (\vec a - \vec b)(2\vec a + \vec b) = 2\vec a^2 + \vec a\vec b - 2\vec a\vec b - \vec b^2 = 2 \cdot 4 - (-3) - 9 = \underline{\underline{2}}[/tex]

c)
[tex]\left|\vec u\right|^2 = \vec u^2 = (\vec a- \vec b)^2 = \vec a^2 - 2\vec a\vec b + \vec b^2 = 4^2 - (2\cdot -3) + 9^2 = 16+6+81 = 103 \\ \underline{\underline{\Rightarrow \ \left|\vec u\right| = \sqrt{103}}}[/tex]

[tex]\left|\vec v\right|^2 = \vec v^2 = (2\vec a + \vec b)^2 = 4\vec a^2 + 4\vec a\vec b + \vec b^2 = 4\cdot 4 + (4\cdot -3) + 9^2 = 16-12+81 = 85 \\ \underline{\underline{\Rightarrow \ \left|\vec v\right| = \sqrt{85}}}[/tex]

d)
[tex]\alpha = \cos ^{-1} \left(\frac{\vec u \cdot \vec v}{\left|\vec u\right| \cdot \left|\vec v\right|}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{103}\cdot \sqrt{85}} \right) = 88,755^o[/tex]

Slik var det jeg løste dem. Hvor ligger feilen min?

Feilen din ligger i at du ersatter [tex]\vec{a}^2[/tex] med 4[sup]2[/sup] og [tex]\vec{b}^2[/tex] med 9[sup]2[/sup]. De er jo allerede kvadrerte.

Kongeee.

noen som har løst de fleste oppgavene, som gidd å legge ut noen svar dokkar har fått på de forskjellige oppgavene?

Hvilke oppgaver lurer du på?

Realist1 wrote:Hvilke oppgaver lurer du på?

ekke helt sikker på 2) e) har du fått den til, det har du sikkert da:P