Kvotientgrupper og endelig-genererte abelske grupper
Posted: 18/02-2009 20:31
Hei, leser for tiden litt i Fraleigh's "Abstract Algebra". Har kommet til kapittel 15: "Factor-Group Computations and Simple Groups" og har i den forbindelse noen spørsmål angående noen av eksemplene og oppgavene i dette kapitlet.
For de som har boka står det jeg lurer på hovedsaklig i eksempel 15.10 og 15.11 (7.utgave). I 15.10 skal du klassifisere kvotientgruppa (Z4xZ6)/(<0,2>) ved å bruke fundamentalteoremet for endelig-genererte abelske grupper. Jeg antar at det kanskje også er meningen å bruke et teorem som står øverst på samme siden:
Theorem 15.8
Let G=H x K be the direct product of groups H and K. Then H'={(h,e) | h element in H} is a normal subgroup of G. Also, G/H' is isomorphic to K in a natural way. Similarly, G/K' is isomorphic to H in a natural way.
I selve eksemplet står bl.a. dette:
"(0,2) generates the subgroup H={(0,0), (0,2), (0,4) } of Z4 x Z6 of order 3. Here the first factor Z4 of Z4 x Z6 is left alone. The Z6 factor, on the other hand, is essentially collapsed by a subgroup of order 3, giving a factor group in the second factor of order 2 that must be isomorphic to Z2. Thus (Z4 x Z6)/<(0,2)> is isomporphic to Z4 x Z2."
Det er spesielt dette med uthevet skrift jeg har problemer med. I eksemplet etterpå, og i mange av oppgavene, antar jeg det er lignende resonnement som trengs, så det hadde hjulpet veldig om noen kunne forklare meg i litt mer detalj akkurat hva som foregår.
(det er sikkert ganske enkelt egentlig, men det bare stoppet opp for meg da jeg leste dette...)
For de som har boka står det jeg lurer på hovedsaklig i eksempel 15.10 og 15.11 (7.utgave). I 15.10 skal du klassifisere kvotientgruppa (Z4xZ6)/(<0,2>) ved å bruke fundamentalteoremet for endelig-genererte abelske grupper. Jeg antar at det kanskje også er meningen å bruke et teorem som står øverst på samme siden:
Theorem 15.8
Let G=H x K be the direct product of groups H and K. Then H'={(h,e) | h element in H} is a normal subgroup of G. Also, G/H' is isomorphic to K in a natural way. Similarly, G/K' is isomorphic to H in a natural way.
I selve eksemplet står bl.a. dette:
"(0,2) generates the subgroup H={(0,0), (0,2), (0,4) } of Z4 x Z6 of order 3. Here the first factor Z4 of Z4 x Z6 is left alone. The Z6 factor, on the other hand, is essentially collapsed by a subgroup of order 3, giving a factor group in the second factor of order 2 that must be isomorphic to Z2. Thus (Z4 x Z6)/<(0,2)> is isomporphic to Z4 x Z2."
Det er spesielt dette med uthevet skrift jeg har problemer med. I eksemplet etterpå, og i mange av oppgavene, antar jeg det er lignende resonnement som trengs, så det hadde hjulpet veldig om noen kunne forklare meg i litt mer detalj akkurat hva som foregår.
(det er sikkert ganske enkelt egentlig, men det bare stoppet opp for meg da jeg leste dette...)