matematikk.net

Hei...

Lurer på en begrunnelse... Satt og fant et halvlikt eksempel i læreboka. Men når det kom til slutten så skjønte jeg ikke helt hva boka gjorde...


Min oppgave:


Lar [tex]\(-1,1\)[/tex] få være et vilkårlig punkt på parabelen, [tex]x_2 = x_1^2[/tex].
Jeg betegner [tex]\(x_1^,, x_2^,\)[/tex] som bildet til punktet og dermed vil sammenhengen mellom [tex]x_1^,[/tex] og [tex]x_2^,[/tex] være bestemt av likningene:
[tex]\begin{bmatrix}x_1^, \\ x_2^,\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}[/tex] og [tex]x_2 = x_1^2[/tex]

[tex]\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}x_1^, \\ x_2^,\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0 \\ -2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1^, \\ x_2^,\end{bmatrix}[/tex]

[tex]\Rightarrow \,\,{x_1=x_1^,\\x_2 = -2x_1^, + x_2^,}[/tex]


Og her stopper opp logikken i mitt hue...

Herfra har jeg to tanker...
I: [tex]x_1[/tex] elimineres pga det bare er et ledd

II: [tex]x_1[/tex] elimineres pga det ikke inneholder [tex]x_2^,[/tex]

Fordi utifra [tex]x_2 = -2x_1^, + x_2^,[/tex] får jeg [tex]x_2 = x_1^2 + 2x_1[/tex]
som er svaret, men tenker jeg riktig...?
Boka gjør det litt anderledes iforhold til min tanke gang men da kommer jeg tilbake bare til utgangspunktet mitt =/... Men begrunnelse på hvorfor jeg bare kan droppe den ene eller noe ligende står det ingenting om i kompendiumet...


Boka gjør det slik:
La [tex](x_1,x_2)[/tex] være et vilkårlig punkt på linjen[tex] x_2 = -7x_1+2[/tex].

[tex]\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}x_1^, \\ x_2^,\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{11}{7}&\frac{1}{7} \\ 1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1^, \\ x_2^,\end{bmatrix}[/tex]

[tex]\Rightarrow \,\,{x_1=\frac{11}{7}x_1^,+\frac{1}{7}x_2^,\\x_2 = x_1^, + x_2^,}[/tex]

som gir:
[tex]x_1^, + x_2^, = -7\(\frac{11}{7}x_1^,+\frac{1}{7}x_2^,\) + 2 \Leftrightarrow x_2^, = -6x_1^, + 1 \Rightarrow x_2 = -6x_1 + 1[/tex]

Men gjør jeg det på samme måte i min oppgave så ender jeg meg likt resultat som utgangspunktet...



Takker for svar på forhånd =)...

[tex]\begin{bmatrix}x_1^, \\ x_2^,\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1 \\ x_1^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1 \\ 2x_1+x_1^2\end{bmatrix}[/tex]

Den nye parabelen blir derfor

[tex]f(x)=2x+x^2=(x+1)^2-1[/tex]

Trengs vel ikke gjøres verre enn det er


På "koordinatform" er en generell parabel uttrykt slik:

[tex]\begin{bmatrix}x, \\ ax^2+bx+c,\end{bmatrix}[/tex].

Etter at du ganger med matrisen A får du en ny vektor på samme form og den andre koordinaten er essensielt den nye parabelen. Verre er det ikke. Ingen vits å finne den inverse til A i denne sammenhengen altså.
.

Misforstod litt det innlegget...


Men hvor gjør du av a_{11} elementet i likningen? Jeg synes den bare forsvinner?


[tex]\begin{bmatrix}x_1^,%20\\%20x_2^,\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1%20\\%20x_1^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1%20\\%202x_1+x_1^2\end{bmatrix} \Rightarrow%20\,\,{x_1=x_1^,\\x_2%20=%20-2x_1^,%20+%20x_2^,} \Rightarrow%20\,\,{x_1=x_1\\x_2=x_1^2+2x_1} [/tex]

Det blir kortere, men kommer frem til det samme... Men forstår ikke resten!

meCarnival wrote:Misforstod litt det innlegget...


Men hvor gjør du av a_{11} elementet i likningen? Jeg synes den bare forsvinner?


[tex]\begin{bmatrix}x_1^,%20\\%20x_2^,\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1%20\\%20x_1^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1%20\\%202x_1+x_1^2\end{bmatrix} \Rightarrow%20\,\,{x_1=x_1^,\\x_2%20=%20-2x_1^,%20+%20x_2^,} \Rightarrow%20\,\,{x_1=x_1\\x_2=x_1^2+2x_1} [/tex]

Det blir kortere, men kommer frem til det samme... Men forstår ikke resten!

Jeg skjønner ikke helt tankegangen din (og hva du ikke helt forstår), men slik ville jeg skrevet det (helt eksplisitt):

[tex]\begin{bmatrix}x_1^,%20\\%20x_2^,\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1%20\\%20x_1^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1%20\\%202x_1+x_1^2\end{bmatrix} \Rightarrow%20\,\,{x_1^,=x_1\\x_2^,%20=%202x_1%20+%20x_1^2} \Rightarrow%20\,\,{x_2^,=x_1^,^2+2x_1^,} [/tex]

Ser du hvordan du kommer frem, men hvorfor.. bare bytter ut x_1 osv, men skjønt det nå...


Men sliter nå med siste der da, hvordan tegne figuren... Sett litt i boka på forskjellige figurer, men skjønner ikke hvordan de får til figurene til hver enkelt oppgave utifra de opplysningene oppgavene har... Så prøvd litt men kommer ingen vei... Noen tips for å finne koordinater osv?

Noen som har tips til hvordan man tegner figur'n?

Vel, det er ikke verre enn å tegne opp de to parablene. Som man ser fremkommer den transformerte parabelen ved en translasjon (-1 enhet langs x-aksen og -1 langs y-aksen).

OK?

Jeg har satt denne grafen i innleveringene min, og utifra det du sier så er den riktig slik jeg forstår ... Hele tiden sett det har stått feil graf under den fordi jeg trodde det ikke var riktig tenkt av meg, men tydeligvis så var det det da =)...



Woho, nå som jeg ikke skjønte hva du skrev om oppgave d) i forrige post, men klart å finne fiktiv matrise +++ selv også... så veldig glad og litt lettet for å være "ferdig" med lineær algebra, selvom det var morsomt...

Hei!

Jeg oppdaga at jeg gjorde en feil da jeg svarte på oppg. d) i forrige post.

Tenkte at det var trekantene som bytta plass.