Page 1 of 2

Kjerneregelen

Posted: 12/03-2009 22:18
by Sofoklis243
Hei,

Har en oppgave jeg lurer litt på...: f(x)=sin(ln(x²+)) der jeg skal derivere funksjonen ved hjelp av kjerneregelen.
Har jeg misforstått hvis jeg gjør på dette viset:

f'(x) = cos (x)* (1/x²+1)

??

Posted: 12/03-2009 22:30
by Audunss
Litt, dette er to kjerner, når du deriverer ln(x^2 +1) må du ta og gange med denne kjernen også, og du må ha cos(ln(x^2+1)), ivertfall slik jeg ser det.

Posted: 12/03-2009 22:31
by meCarnival
Bare deriver alle ledd og gang de sammen...

[tex](sin(ln(x^2+1))^,\cdot (ln(x^2+1))^, \cdot (x^2+1)^, = cos(ln(x^2+1)) \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2xcos(ln(x^2+1))}{x^2+1}[/tex]

Posted: 12/03-2009 22:31
by Andreas345
I dette tilfellet må du gange med den deriverte av både den indre og ytre kjernen.

[tex][ln(x^2+1)]\prime [/tex] og [tex](x^2+1)\prime[/tex]

[tex]f\prime=\frac {2x\cdot cos(ln(x^2+1))}{x^2+1} [/tex]

EDIT: OG HER HADDE ALLE SVART JA! ..nice nice

Posted: 12/03-2009 22:34
by meCarnival
Hehe, sånn erre Andreas ;)...

Mer derivasjon....

Posted: 12/03-2009 23:44
by Sofoklis243
Takk for raskt svar! Sliter litt med å identifisere kjerne og hva jeg skal definere som det, men skjønner at det her var snakk om to kjerner...
men jeg har en oppgave til som jeg lurer på om jeg kan dele opp i to faktorer og bruke produktregelen:

f(x)= e^(x²+1)/ [symbol:rot] x

Her tenkte jeg at jeg kunne dele inn i følgende faktorer:

1/ [symbol:rot] x

og
e^(x²+1)

Her blir vel x²+1 enda en kjerne

Således tenker jeg at man kan si følgende:

u(x)= 1/ [symbol:rot] x)
u'(x)= 1/1/(2* [symbol:rot] x) =2 [symbol:rot] x

v(x)=e^x²+1 = e^s der s= x²+1
v'(x)=e^(x²+1)*2x

Bruker produktregelen:
f'(x)=2 [symbol:rot] x*e^(x²+1)+(1/ [symbol:rot] x)*e^(x²+1)*2x =e^(x²+1)*((2x+2)/( [symbol:rot] x)

Gir dette mening?

Posted: 12/03-2009 23:47
by meCarnival
Du må bruke regelen for bruk her men tankegangen i telleren er riktig. Det blir en egen kjerne...

Kvotient (brøk) regelen:

[tex]\frac{u}{v} = \frac{u^, \cdot v - u \cdot v^,}{v^2} [/tex]


U må kombineres med kjerne regelen som du har gjort i forrige post..

mer derivasjon...

Posted: 13/03-2009 10:53
by Sofoklis243
mulig jeg rota det til igjen, men fikk et ganske så annet svar på forrige oppgave enn jeg gjorde i første omgang, men det blir litt komplisert å skrive det ned her... kan jo prøve.
Jeg fikk f'(x) til å bli:

(e^(x^2+1) * ((3x-1)/(2 [symbol:rot] x)))/x

da har jeg satt u(x) som e^(x^2+1)
og v(x) som [symbol:rot] x
og brukt formelen du oppga.

Videre har jeg et nytt problem:

x [symbol:rot] (x-1)

Dette burde bli noe av det samme som ovenfor, men får det ikke helt til å stemme. Bruker produktregelen og får:

x/(2 [symbol:rot] (x-1) + 2(x-1)/(2 [symbol:rot] (x-1) = (3x-2)/( 2[symbol:rot] (x-1)

Dette er en del av et større uttrykk der man har en grenseverdi og man skal bruke L'Hospitals regel:
lim x ->1 x [symbol:rot] (x-1)/x-1 og når jeg setter inn for x så blir det null i nevneren men ikke i telleren!

:shock:

Posted: 13/03-2009 11:50
by zell
[tex]\lim_{x\to 1} \frac{x\sqrt{x-1}}{x-1}[/tex]

Blir jo 0/0 det.

L'Hospitals regel

Posted: 15/03-2009 20:08
by Sofoklis243
zell wrote:[tex]\lim_{x\to 1} \frac{x\sqrt{x-1}}{x-1}[/tex]

Blir jo 0/0 det.
Jepp, men hvis man deriverer telleren og nevneren for seg ved å bruke L'Hospitals regel skal man kunne løse slike problemer. Men jeg sliter altså med uttrykket i telleren... ren derivasjon altså.

Posted: 15/03-2009 20:16
by meCarnival
Produktregel...

Posted: 16/03-2009 21:13
by zell
[tex]\lim_{x\to 1} \frac{x(x-1)^{\frac{1}{2}}}{(x-1)^1} = \lim_{x\to 1} \frac{x}{\sqrt{x-1}}[/tex]

Vi hopper litt..

[tex]\lim_{x\to 1} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x-1}}} \lim_{x\to 1} 2\sqrt{x-1} = 0[/tex]

Posted: 16/03-2009 21:22
by meCarnival
[tex]\lim_{x\to%201}%20\frac{x}{\sqrt{x-1}} \,\,\neq\,\, \frac{0}{0}[/tex] eller [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex]

Han skal jo bruke L'hospital...


Derivasjon av teller:

[tex]u = x[/tex]
[tex]u^, = 1[/tex]
[tex]v = \sqrt{x-1}[/tex]
[tex]v^, = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}[/tex]

får:

[tex]\(x\sqrt{x-1}\)^, = \sqrt{x-1}+\frac{x}{2\sqrt{x-1}}[/tex]

Takker for svar

Posted: 16/03-2009 21:41
by Sofoklis243
Hei,
takker for svar. Men når man setter inn for x=1 så blir nevneren lik 0 og da konkluderer jeg med at grenseverdien går mot uendelig og at det er løsningen?

Posted: 16/03-2009 22:11
by meCarnival
Jeg får [tex]\frac{5\,\cdot\,\sqrt{2}}{4}[/tex]...