matematikk.net

Hei lurte på om noen kunne være så snill å hjelpe meg litt med denne oppgaven:

En skåk med flat bunn kan framkomme ved å dreie funksjonen g 360 grader om førsteaksen. funksjonen er gitt ved g(x)= [symbol:rot] x+a
x går fra 0til1

a) Hvor mye rommer skåla når a=1?

b) Bestem a slik at volumet til skåla er 4.

Bruker feil funksjon i dette innlegget. Rettet i innlegget lenger nede!

Jeg er snill!

Volumet til omdreningslegemet om x-aksen er, i følge Lindstrøms Kalkulus,
[tex]V = \pi\int_a^bg(x)^2dx[/tex]

a)
Setter inn din funksjon for g(x).

[tex]V = \pi\int_0^1(\sqrt{x + 1})^2dx \;=\; \pi\int_0^1x+1\;dx[/tex]

Det her var ganske rett frem? Tar du resten?

b)
Dette her er ikke så mye vanskeligere. Bare løs ligningen med hensyn på a.
[tex]4 = \pi\int_0^1x+a\;dx[/tex]

Ok så jeg må ikke bruke: [symbol:integral] [symbol:rot] x dx=2/3x^3/2 + c?

Du trenger ikke den, siden man opphøyer funksjonen i annen før man integrerer. Da blir du kvitt rottegnet i funksjonen, og alt blir en del enklere.

Forresten, er funksjonen
[tex]g(x) = \sqrt{x + a}[/tex]
eller
[tex]g(x) = \sqrt{x} + a[/tex]?

Vrient å se med symbol-rottegnet. Jeg bare antok den første.

funksjonen er gitt ved:
[tex]g(x) = \sqrt{x} + a[/tex]?

så da må vel jeg bruke [symbol:integral] [symbol:rot] x dx=2/3x^3/2+c?

Aaah. Da blir det litt annerledes. Du trenger da integralet til
[tex]2\sqrt{x}[/tex] og [tex]2a\sqrt{x}[/tex], som blir nesten det samme som bare integralet til [symbol:rot] x.


Volumet til omdreningslegemet om x-aksen er, i følge Lindstrøms Kalkulus,
[tex]V = \pi\int_a^bg(x)^2dx[/tex]

a)
Setter inn din funksjon for g(x).

[tex]V = \pi\int_0^1(\sqrt{x} + 1)^2dx[/tex]

b)
Løs ligningen med hensyn på a.
[tex]4 = \pi\int_0^1(\sqrt{x}+a)^2\;dx[/tex]

Du må bare gange ut parentesene før du integrerer i a og b.

Satser på at HildeKS har regnet oppgavene selv, så jeg trygt kan legge ut min løsning.

Jeg regnet meg gjennom oppgave b), og det ble litt av et algebra-sirkus! Lurer på hvordan det kan gjøres enklere. Kan umulig være hensikten å løse det på denne måten?

[tex]4 = \pi\int_0^1 (\sqrt{x} + a)^2\;dx[/tex]

[tex]4 = \pi\int_0^1 x + 2a\sqrt{x} + a^2\;dx[/tex]

[tex]4 = \pi\Big[\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}ax^{\frac{3}{2}} + a^2x\Big]_0^1[/tex]

[tex]\frac{4}{\pi} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}a + a^2[/tex]

[tex]a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi} = 0[/tex]

[tex]a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{\pi - 8}{2\pi} = 0[/tex]

Løser med ABC-formelen.

[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm\sqrt{\frac{16}{9} - 4\frac{\pi - 8}{2\pi}}}{2}[/tex]

[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm\sqrt{\frac{16}{9} - \frac{2\pi - 16}{\pi}}}{2} \;\approx[/tex]

Herfra kjører jeg approksimasjoner, siden det blir litt uhåndterlig.

[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm2.2070}{2} \Rightarrow \bigg{\begin{array}{l}a_1 \approx 0.4369\\a_2\approx -1.7702\end{array}[/tex]

For at vi skal kunne beregne volumet til omdreiningslegemet, må funksjonen være positiv i intervallet [0,1]. Det er kun oppfylt når a = a_1.

Setter du inn min approksimasjon av a_1 i det opprinnelige integralet, får du 3.999 som svar. Close enough!