Satser på at HildeKS har regnet oppgavene selv, så jeg trygt kan legge ut min løsning.
Jeg regnet meg gjennom oppgave b), og det ble litt av et algebra-sirkus! Lurer på hvordan det kan gjøres enklere. Kan umulig være hensikten å løse det på denne måten?
[tex]4 = \pi\int_0^1 (\sqrt{x} + a)^2\;dx[/tex]
[tex]4 = \pi\int_0^1 x + 2a\sqrt{x} + a^2\;dx[/tex]
[tex]4 = \pi\Big[\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}ax^{\frac{3}{2}} + a^2x\Big]_0^1[/tex]
[tex]\frac{4}{\pi} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}a + a^2[/tex]
[tex]a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi} = 0[/tex]
[tex]a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{\pi - 8}{2\pi} = 0[/tex]
Løser med ABC-formelen.
[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm\sqrt{\frac{16}{9} - 4\frac{\pi - 8}{2\pi}}}{2}[/tex]
[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm\sqrt{\frac{16}{9} - \frac{2\pi - 16}{\pi}}}{2} \;\approx[/tex]
Herfra kjører jeg approksimasjoner, siden det blir litt uhåndterlig.
[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm2.2070}{2} \Rightarrow \bigg{\begin{array}{l}a_1 \approx 0.4369\\a_2\approx -1.7702\end{array}[/tex]
For at vi skal kunne beregne volumet til omdreiningslegemet, må funksjonen være positiv i intervallet [0,1]. Det er kun oppfylt når a = a_1.
Setter du inn min approksimasjon av a_1 i det opprinnelige integralet, får du 3.999 som svar. Close enough!
