matematikk.net

Hei, jeg lurer på en del ting i linear algebra, håper at noen kan prøve å "forklare" det :

1) La [tex]V[/tex] være en n-dimensjonal vektorrom, hvorfor valg av basisen er det samme som å gi en isomorfisk fra [tex]V[/tex] til [tex]R^n[/tex] ?

2) La [tex]B[/tex] og [tex]B^'[/tex] være to baser for [tex]V[/tex]. hvordan kan man forklare at det finnes en invertibel matrise [tex]P[/tex]B'<-B slik at for alle v [tex]\in[/tex] [tex]V[/tex] har vi [tex][v][/tex]B' = [tex]P[/tex]B'<-B[v]B ?

Såvidt jeg husker blir tankegangen noenlunde slik:

La [tex]\{ v_1,v_2,\cdots ,v_n\}[/tex] være en basis for V over R.

Da kan vi la [tex] f:V\to\mathbb{R}^n[/tex] være en homomorfi som bevarer R, bestemt ved at

[tex]f(v_i)=e_i\, i\in {1,2,...,n}[/tex] der [tex]e_i[/tex] er [tex] i[/tex]-te enhetsvektor i [tex]\mathbb{R}^n[/tex].

Dvs: at for[tex] u,v \in V\, c\in R[/tex] : [tex]f(u+v)=f(u)+f(v)[/tex] og [tex]f(cu)=f(c)f(u)=cf(u)[/tex].

Det er lett å vise at f er bijektiv så f er en isomorfi.

Så en bestemt basis for V tilsvarer en bestemt isomorfi som ovenfor.