Grønnsaker wrote:f(x) = (2/3)x^3 - 2x^2
a) Finn skjæringspunktene mellom grafen til f og koordinataksene.
(Blir veldig takknemlig om du kan forklare meg tydelig hvordan du kommer frem til svaret slik at jeg forstår.
)
Her er det bare å holde tunga rett i munnen og tenke klart.
At funksjonen krysser koordinataksene, betyr at de krysser x-aksen og y-aksen. Det er du enig i?
Når den krysser x-aksen, er y=f(x)=0. Derfor setter du hele funksjonen lik 0. Slik:
[tex]f(x) = \frac23x^3-2x^2=0[/tex]
Da finner du hvilken x-verdi funksjonen har når den krysser x-aksen.
Så; når den krysser y-aksen er x=0. Ser du hvorfor? Y-aksen er nemlig x=0.
Så da setter du 0 inn i funksjonen:
[tex]f(0)=\frac23 \cdot 0^3-2\cdot 0^2[/tex]
Akkurat i dette eksempelet blir svaret 0, hvilket betyr at den krysser y-aksen i y=0, altså går den gjennom origo.
For å samle dette opp:
Den krysser y-aksen når x=0.
Den krysser x-aksen når hele funksjonen, f(x)=0.
Grønnsaker wrote:b) Finne topp og bunn-punkt på grafen til f.
Da må du derivere funksjonen. Tankegangen her er at når du deriverer funksjonen så finner du stigningstallet til tangenten i hvert enkelt punkt. I et toppunkt og bunnpunkt er tangenten helt vannrett, altså er stigningstallet til tangenten lik 0. Når stigningstallet til tangenten er null, er også den deriverte lik null. Så fremgangsmåten er altså: derivér funksjonen, og sett den deriverte lik null. For å finne topp- og bunnpunkt i funksjonen din:
[tex]f^{\tiny\prime}(x) = 2x^2 - 4x = 2x(x-2) = 0[/tex]
Dette betyr at enten er 2x=0, eller så er (x-2)=0. Dette medfører at x=0, eller x=2.
Det du fant ut her, var at tangenten er helt vannrett i punktet x=0 og x=2. Dette igjen betyr at du har funnet et topp- eller bunnpunkt (eller terrassepunkt, men det trenger du ikke å bekymre deg for før om lenge).
For å finne ut hvilket punkt som er toppunktet og hvilket som er bunnpunktet, må du finne monotoni-egenskapene til grafen (hvordan grafen ser ut, rett og slett), men siden du sikkert har en kalkulator tilgjengelig, er det lett å kjapt tegne f(x) og se at toppunktet kommer først, og deretter bunnpunktet, altså er toppunktet i x=0, og bunnpunktet i x=2.
Grønnsaker wrote:e) Finne likning for tangenten til grafen i (3,f(3))
Denne var veldig vanskelig for meg, så her ville det også vært fint med en forklaring.
Okei, du vet at tangenten er lineær, altså er den på formen:
y = ax + b
x får du oppgitt, den er 3.
y kan du lett regne deg frem til, ved å sette 3 inn for x i f(x). I ditt eksempel blir y=0 når x=3.
a er stigningstallet til tangenten. Da regner du ut f'(3), altså [tex]2\cdot 3^2 - 4\cdot 3 = 6[/tex]
Så da gjenstår det bare å finne b.
Flytter over, og får:
b = y - ax
Så fyller du bare inn verdiene du kjenner:
[tex]b = 0 - 6 \cdot 3 = -18[/tex]
Så da har du funnet ut at a=6 og b=-18.
Ligningen for tangenten i punktet (3, f(3)), er dermed:
y = 6x - 18
Grønnsaker wrote:f) finne gjennomsnittlig vekstfart fra x= 0 til x=3
Gjennomsnittlig vekstfart er rett og slett [tex]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/tex]. Altså:
[tex]\frac{f(3)-f(0)}{3-0} = \frac{0-0}{3} = \frac03 = 0[/tex]
Den gjennomsnittlige vekstfarten er altså rett og slett 0.
Det kan du også se på grafen. I punktet x=0 så er grafen på y=0. På x=3 så er grafen også på y=0. Så grafen har faktisk ikke vokst noen ting.
Selv om x-verdien har økt, er y-verdien fremdeles null. Så funksjonen har ikke vokst i det hele tatt mellom disse punktene, verken vokst eller sunket, så den gjennomsnittlige vekstfarten er 0. Rett og slett.
Håper jeg skrev noenlunde forståelig. Dette er ikke et veldig lett tema, men når du først får den der aha-opplevelsen og skjønner det, da blir det plutselig veldig mye lettere.
Lykke til.