matematikk.net

Hei
Jeg går andre året på den videregående skole. I år valgte jeg faget Matte-X og der holder vi på med et prosjekt. Temaet mitt er kvaternioner(det er visst på universitets-nivå). Jeg trenger å skjønne dette godt nok til å forklare andre hva kvaternioner er, hva det brukes til og hvordan det brukes. Kan dette med komplekse tall, men sliter med hva 4D er. Dette er ting jeg må vite aller først:

- HVA er kvaternioner? Og i hvilke sammenhenger bruker man disse til?
- Hva er 4D?
- Hvorfor er i^2 = j^2 = k^2 = -1 , men samtidig har ikke i, j og k samme verdi?
- i*j = -j*i...dette er ikke kommutativ regning, men hvordan kom man fram til dette?

Takk på forhånd

Kvaternioner er bare en av mange komplekse system, som bruker tre generaliserte kvadratrøtter av -1 for å muliggjøre multiplikasjon av "friplets". Hvis du kjenner til at [symbol:rot]-1=i, og i^2=-1, så er det det samme som skjer med ijk. Dog, i^2, j^2, k^2 er greit: Problemet som gjenstår er hva som skjer når en f.eks. ganger ij, ji, ki, etc. Det var først Gauss som fant ut av hvordan en gjorde det, men han gadd ikke publisere resultatet. Dermed var det Hamilton som fikk æren da han senere fant ut av det. Du kan huske det slik: Multiplisering med klokka gir positive svar, og multiplikasjon mot klokka gir negative svar.
[tex]i\,j[/tex]
[tex]\,k[/tex]
dvs. ij=k, ji=-k, ki=j, ... . Ergo er de ikke kommutative, men antikommutative.
Akkurat som at komplekse tall er relativt analogt med vektorer i det euklidske plan, er kvaternioner relativt analogt med vektorer i euklidsk 4-rom. Hvis du vil ha en analog, kan du tenke på at vår dimensjon er 4-dimensjonal når du regner med tiden. Hvis kvaternionen er såkalt "ren", dvs. at den mangler et reellt ledd, kan den ca. regnes som en vektor i det euklidske rommet. Kvaternioner skrives på formen a+bi+cj+dk. De brukes til rotasjon i datagrafikk, men jeg vet ikke helt hvordan. Jeg trodde det var mer vanlig å bruke matriser, men det går vel for tregt.

En har også kvintinioner med ijklmno, og du kan gå så høyt du vil, men bare 3, 4 og 7 har vektorprodukt hvis jeg ikke husker feil.

EDIT: Vektorprodukt er forøvrig også anti-kommutativt. Dvs. a x b = - b x a

Det var raskt det
Nå har jeg andre ting; hva vil det si at noe er anti-kommutativt? Altså, hvordan har man kommet fram til at a x b = -b x a ? Fins det noen grafiske framstillinger for det?

Katinka wrote:Det var raskt det
Altså, hvordan har man kommet fram til at a x b = -b x a ? Fins det noen grafiske framstillinger for det?

hvis en tar utgangspunkt i hvordan høyrehåndsregelen er definert, så er det veldig enkelt å sjekke at [tex]\vec{a}\text{x}\vec{b}=-\vec{b}\text{x}\vec{a}[/tex]

eventuelt kan du ta ugangspunkt i hvordan kryssproduktet er definert, og sette opp begge de to uttrykkene og regne det ut for to generelle tredimensjonale vektorer.

ellers betyr kommutativitet(?) at rekkefølgen ikke spiller noen rolle. type [tex]a+b=b+a[/tex] og [tex]a\cdot b=b\cdot a[/tex] (osv).

Du kan ha med 8 (hvorav en er reell) komponenter også. Hvis du har fler tror jeg ikke de oppfyller den assosiative egenskap at (a+b)+c=a+(b+c), og da er det ikke så mange som bryr seg om det